PT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VM
11 tháng 2 2020
Ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1).
\(\left(b+c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\) (2).
\(\left(c+a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+2ca+a^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+a^2\ge2ac\) (3).
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (*).
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (gt).
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).
=> \(\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\left(4\right)\\ab+ac>a^2\left(5\right)\\bc+ab>b^2\left(6\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế (4), (5) và (6) ta được:
\(ac+bc+ab+ac+bc+ab>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (**).
Từ (*) và (**) => \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2.\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
B
11 tháng 2 2020
Theo BĐTBĐT tam giác ta có:
a<b+c
=>a2<ab+ac
b<c+a
=>b2<bc+ba
c<a+b
=>c2<ca+cb
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)(1)
Ta có (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0 với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
<=>a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
<=>2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
<=>ab+bc+ca≤a2+b2+c2(2)
Dấu = xảy ra khi a=b=c<=> tam giác đó đều
(1),(2)=>đpcm
QC
< 2(ab+bc+ca)
0
SK
3
NT
0
NT
1
12 tháng 4 2017
Giải
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2\ge0\\\left(b+c\right)^2\ge0\\\left(c+a\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của dãy BĐT ta được:
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Hay \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\) (Đpcm)
NL
0
CA
0
bằng nhau trong trường hợp tam giác đều bạn tự làm nha còn bé hơn thì trước tiên viết 3 bất đẳng thức của tam giác sau đó cho 1 giả sử để chứng minh hoặc là biến đổi bất đẳng thức của tam giác giờ mình lười làm lắm hướng dẫn như vậy thôi
Từ đề => a,b,c \(\ge\)0 . Ta lại có :\(ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2\)
=> \(3\left(ab+ac+bc\right)\le\left(a+b+c\right)^2\) luôn đúng với mọi a,b,c \(\ge\) 0
=> dpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay khi tam giác ABC đều