Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0
Ta có: (b – c)2 < a2
⇔ a2 – (b – c)2 > 0
⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0
⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).
Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)
b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :
( a – b)2 < c2 (2)
(c – a)2 < b2 (3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2
⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2
⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).
a)Do A',B',C' là trung điểm BC,CA,AB=> A'B' song song với AB,B'C'song song với BC,C'A' song song với CA
\(\overrightarrow{A'B'}=\left(6;3\right)\) => VTPT của đường thẳng AB là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\)
và C' thuộc (AB)=>Phương trình đường thẳng AB là:
(AB): x-2y-6=0
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC là:
(BC): x+4=0
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{x-2y-6=0}\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-5\end{matrix}\right.\)
=>B(-4;-5)
A'(-4;1) là TĐ của BC => tọa độ C(-4;7)
C'(2;-2) là TĐ của AB =>tọa độ A(8;1)
b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C' là G(x;y)
=>\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=0\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-4-x\right)+\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=0\\\left(1-y\right)+\left(4-y\right)+\left(-2-y\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
=>G(0;1)
Thay vào tính
Ta có:\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) =(8-4-4;1-1+7-1-5-1)=(0;0)
=>G là trọng tâm tam giác ABC=>ĐPCM
a/ Với mọi số thực ta luôn có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Lại có do a;b;c là ba cạnh của 1 tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2\)
\(a+c>b\Rightarrow ab+bc>b^2\)
\(b+c>a\Rightarrow ab+ac>a^2\)
Cộng vế với vế: \(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
b/
Do a;b;c là ba cạnh của tam giác nên các nhân tử vế phải đều dương
Ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)^2=b^2\)
Tương tự: \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)
\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)
Nhân vế với vế:
\(a^2b^2c^2\ge\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(a+c-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca
<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0
<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0
<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)
dấu = xảy ra khi a =b=c
2) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó, ta có: \(a^2+bc\le a^2+ac\le\left(a+c\right)^2\)
Vậy chỉ cần chứng minh
\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)\)
Lợi dụng AM-GM ngay, ta được
\(4\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)\le\left(b^2+ca+c^2+ab\right)^2=\left(b^2+ab+bc+ca+c^2-bc\right)^2=\left[\left(b+a\right)\left(b+c\right)+c\left(c-b\right)^2\right]\le\left(b+a\right)^2\left(b+c\right)^2\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b;c=0 và hoán vị
3) \(VT=\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ca}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{c+a}+\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Lợi dụng AM-GM, ta được
\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{c+a}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự với các BĐT tiếp theo
Cộng vế theo vế rồi rút gọn ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
a)Ta có BĐT tam giác :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[a+\left(b+c\right)\right]\left[a-\left(b-c\right)\right]>0\)
\(\Rightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>0\Rightarrow a^2>\left(b-c\right)^2\)
b)Áp dụng BĐT ở câu a ta có:
\(a^2+b^2+c^2>\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2>b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac+a^2+b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca>2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca>a^2+b^2+c^2\)
ủa anh ơi bài b) kêu chứng minh là \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) sao anh lại đi chứng minh \(a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca\) ở cuối bài .-.