Question

[Vũ Mai Anh]

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a² + b² + 2c² + 2d² = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của A = 3 (a+c) (b+d).

MÌNH CẦN CÂU TRẢ LỜI GẤP! CẢM ƠN MẤY BẠN NHIỀU.

Answer 1

[✰๖ۣۜMαĭ Đứ¢ ๖ۣۜMĭηɦ✰ {team 7c}]

 Câu trả lời hay nhất:  Theo hằng đẳng thức 
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab; 
c^2+d^2=(c+d)^2-2cd. 
Suy ra a^2+b^2 và a+b cùng chẵn, hoặc cùng lẻ; 
c^2+d^2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với 
a^2+b^2=c^2+d^2 ta suy ra a+b và c+d cùng chẵn, 
hoặc cùng lẻ. Từ đó a+b+c+d chẵn, và vì 
a+b+c+d>=4 nên a+b+c+d là hợp số.

Answer 2

[Bùi Thế Hào]

Ta có: A=3(a+c)(b+d)  <=> 2A/3 = 2(a+c)(b+d)

Theo Cauchy => 2A/3 \(\le\)(a+c)²+(b+d)²

Mặt khác, theo BĐT Bunhiacopxki có: 

\(\left(a+c\right)^2=\left(1.a+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}c\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(a^2+2c^2\right)=\frac{3}{2}\left(a^2+2c^2\right)\)

Tương tự: \(\left(b+d\right)^2=\left(1.b+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}d\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(b^2+2d^2\right)=\frac{3}{2}\left(b^2+2d^2\right)\)

=> \(\frac{2A}{3}\le\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+2c^2+2d^2\right)=\frac{3}{2}.1=\frac{3}{2}\)

=> \(A\le\frac{9}{4}=>A_{max}=\frac{9}{4}\)