BT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 1 2015
cái này bạn dùng bất đẳng thức \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)2 lần với từng phân thức. rồi cộng vế theo vế là xong
TA
1 tháng 5 2017
Với mọi x, y > 0 ta luôn có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y
Ta có: \(\frac{2}{2a+b+c}=\frac{1}{2}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{8}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (1)
Tương tự \(\frac{2}{2b+c+a}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2) và \(\frac{2}{2c+a+b}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\) (3)
Cộng (1), (2) và (3) ta được: \(A\le\frac{1}{8}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)
XO
30 tháng 12 2021
\(4M=\dfrac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\dfrac{4}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\)
\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
=> 8M \(\le\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}=2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=8\)
=> \(M\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 3/4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+a+b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
Cộng vế:
\(M\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1\)
\(M_{max}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{4}\)
15 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\). Lại có \(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4c}\right);\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{2c}\right)\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được:
\(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Thay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\)\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{3}{4}.\)
6 tháng 1 2019
Cauchy-Schwarz dạng Engel 2 lần :
\(P=\frac{1}{a\left(2b+2c-1\right)}+\frac{1}{b\left(2c+2a-1\right)}+\frac{1}{c\left(2a+2b-1\right)}\)
\(P=\frac{1}{a\left(-a+b+c\right)}+\frac{1}{b\left(a-b+c\right)}+\frac{1}{c\left(a+b-c\right)}\)
\(P=\frac{1}{a-2a^2}+\frac{1}{b-2b^2}+\frac{1}{c-2c^2}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
6 tháng 1 2019
Cách của bạn sao chỗ cuối lại thế ạ ? Bạn giải hộ mình rõ hơn được không ?
bấm vào chữ 0 đúng sẽ ra đáp án