Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+2.2001\)
\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4\left(a+b\right)+4+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+2.\left(2001-3\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2-2.\left(a+b\right).2+2^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+2.1998\)
\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+2.1998\ge2.1998\)
Suy ra \(2M\ge2.1998< =>M\ge1998\)
Dấu "=" xảy ra \(=>a=b=1\)
Vậy ...
Áp dụng bđt ( a + b )2 \(\ge\)4ab
16 = ( 2x + xy ) 2 \(\ge\)4 . 2x . xy \(\Leftrightarrow\)8x2y\(\le\)16 \(\Leftrightarrow\)x2y \(\le\)2
A đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 1, y = 2
Đáp án
x = 1
y = 2 nha
Bài làm
2x + xy = 4
xy= 4 - 2x
A = x ( 4 - 2x ) 4x - 2x^2 = 2 - 2 ( x^2 - 2 + 1 ) = 2 - 2 ( x + 1 ) ^2
A = 2 khi x = 1, y = 2
Theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel
\(S=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{4}{2}=2\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=1\)
Xét vế trái (VT) ta có
VT = \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)= VP
Vậy ...
) Bài 1: Biến đổi tương đương thôi: \((ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd\) \(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\) Ta có đpcm Bài 2: Áp dụng kết quả bài 1: \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\geq (ac+bd)^2\) do \((ad-bc)^2\geq 0\) Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
^HT^
\(P=x^2+xy+y^2-3\left(x+y\right)+3\)
\(2P=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+6\)
\(2P=x^2-2x+1+y^2-2y+1+x^2+y^2+4-4x-4y+2xy\)
\(2P=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-2\right)^2\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=1\).
Áp dụng bất đẳng thức,cho 2 số không ân,ta có:
\(x^2+y^2\ge2\)
\(\sqrt{x^2}.\sqrt{y^2}=2.xy=2.6=12\)
Vậy P min=12,dấu "=" xảy ra khi:
\(x^2=y^2\Leftrightarrow x=y\)
Theo BĐT cosi ta có:
\(3a+5b\ge2\sqrt{3a\cdot5b}\)
\(\Leftrightarrow3a+5b\ge2\sqrt{15ab}\)
\(\Leftrightarrow12\ge2\sqrt{15ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15ab}\le\dfrac{12}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15ab}\le6\)
\(\Leftrightarrow15ab\le36\)
\(\Leftrightarrow ab\le\dfrac{36}{15}\)
\(\Leftrightarrow ab\le\dfrac{12}{5}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{12}{5}\)
Vậy: \(P_{max}=\dfrac{12}{5}\)