Question

[Moon_Kutea]

Cho 4 số a , b , c, d thỏa mãn điều kiện \(b^2=ac\) ;     \(c^2=bd\) .Chứng minh :

                                  \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)

Answer 1

[Nguyễn Minh Đức]

Ta có: \(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)  (1)

\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\) (3)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot b\cdot c}{b\cdot c\cdot d}=\frac{a}{d}\) (4)

Từ (3) và (4) => \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)(Đpcm)

Chúc bạn học tốt!

Answer 2

[Nguyễn Gia Huy]

vì \(b^2=ac;c^2=bd\) suy ra \(b^2c^2=abcd\)=>\(bc=ad\)

Ta có \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a^3+abc+bcd}{d^3+abc+bcd}=\frac{a^3+bc\left(a+d\right)}{d^3+bc\left(a+d\right)}=\frac{a^3+ad\left(a+d\right)}{b^3+ad\left(a+d\right)}=\frac{a^3+a^2d+d^2a}{d^3+a^2d+d^2a}=\frac{ }{ }\)\(=\frac{a\left(d^2+a^2+ad\right)}{d\left(d^2+a^2+ad\right)}=\frac{a}{d}\)(ĐPCM)