Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn :x+y+z=3.Tìm GTNN của biểu thức sau: P=xy+yz+zx+3/x+3/y+3/z

LS

Lê Song Phương

20 tháng 8 2023 - olm

Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTLN của biểu thức $P=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}$

#Toán lớp 10

1

ND

Nguyễn Đức Trí

VIP

20 tháng 8 2023

Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương $\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}$

$\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}$

$\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)$

Tương tự ta được

$\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)$

$\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)$

$\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)$ ta được :

$P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}$

$\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6$

$\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)$

Đúng(3)

TH

Thu Hiền

15 tháng 4 2016

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z^2+2}{z+xy}$

#Toán lớp 10

1

TA

Thiên An

15 tháng 4 2016

Theo giả thiết ta có : $x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)$

Tương tự : $y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)$

Và $z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)$

Nên $P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}$

$=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}$

Ta có $x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}$

nên $P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}$

$=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1$

Lập bảng biến thiên ta được $f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}$ hay min $P=\frac{13}{4}$ khi $\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}$

Đúng(1)

HL

Hiếu Lê

18 tháng 8 2020 - olm

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $xy+yz+xz\ge3$> Tìm GTNN của biểu thức

$P=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}$

#Toán lớp 10

1

TL

Tran Le Khanh Linh

18 tháng 8 2020

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi ta có $\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}\cdot\frac{1+y}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\\\frac{y^3}{1+z}+\frac{1+z}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+z}\cdot\frac{1+z}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\\\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{1+x}\cdot\frac{1+x}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3z}{2}\end{cases}}$

Cộng vế theo vế ta được $P+\frac{3+x+y+z}{4}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)$

$\Leftrightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{9}{4}$

Mà ta có $\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge9\Rightarrow x+y+z\ge3$

Do đó $P\ge\frac{5}{4}\cdot3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Vậy minP=$\frac{3}{2}$khi x=y=z=1

Đúng(0)

BH

Bùi Hữu Vinh

5 tháng 1 2021 - olm

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz=1. Tìm GTNN của P = $\frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}+\frac{y^3+1}{\sqrt{y^4+z+x}}+\frac{z^3+1}{\sqrt{z^4+x+y}}-\frac{8\left(xy+yz+zx\right)}{xy+yz+zx+1}$

#Toán lớp 10

1

YN

Yen Nhi

5 tháng 1 2021

Bạn tham khảo lời giải của tớ nha!

Bài tập Tất cả

Đúng(0)

KH

Kimian Hajan Ruventaren

16 tháng 1 2021

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm Min $P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}$

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

16 tháng 1 2021

$P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}$

$P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Đúng(1)

T

tthnew

16 tháng 1 2021

Ta có bất đẳng thức sau $x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.$

Do đó:

$P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}$

$=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$

Đúng(1)

NK

Nguyen Kim Chi

2 tháng 9 2016

cho 3 số thực dương z;y;z thỏa mãn x+y+z<hoạc = 3/2

tìm GTNN của biểu thức :

$P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}$

#Toán lớp 10

1

KK

Kuro Kazuya

21 tháng 1 2017

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 bộ số không âm

$\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}$

Xét $3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}$

$=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{xz+1}{z}\right)}$

$=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}$

Áp dụng BĐT Cô - si

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\\z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\\x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\ge8$

$\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}$

$\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge6$

$\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\ge6$

Mà $\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}$

$\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge6$

Vậy GTNN của $\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}=6$

Đúng(0)

VN

vung nguyen thi

3 tháng 12 2017

Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. GTNN của

P=$\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}$

#Toán lớp 10

1

UK

Unruly Kid

4 tháng 12 2017

Ta xét BĐT phụ: $1+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)$

$x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)+xyz-1$

$x^3+y^3-xy\left(x+y\right)\ge0$

$\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0$

$\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0$( Luôn đúng, vậy BĐT phụ đúng)

$\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}=\sqrt{x+y+z}.\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.\left(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{x^2y^2z^2}}}\right)=3\sqrt{3}$

GTNN của P là $3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Đúng(0)

KH

Kimian Hajan Ruventaren

16 tháng 1 2021

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x\left(3-xy-xz\right)+y+6z\le5xz\left(y+z\right)$. GTNN của biểu thức P=3x+y+6z

#Toán lớp 10

0

NT

Nguyễn Thị Kim Tuyến

4 tháng 12 2019 - olm

Câu hỏi hay

Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}$

#Toán lớp 10

2

KS

Kudo Shinichi

4 tháng 12 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}$

$M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9$

và $\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21$

$\Rightarrow M\ge9+21=30$

Dấu " = " xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Đúng(0)

S

shitbo

7 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:

$M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}$

$\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}$

$=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}$

$\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30$

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₃

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP