Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo:
Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\) tìm giá trị lớn nhất của biết thức Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt... - Hoc24
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)1}\le yz\frac{\left(x-1\right)+1}{2}=\frac{xyz}{2}\);
\(zx\sqrt{y-4}=\frac{zx}{2}\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{zx}{2}\frac{\left(y-4\right)+4}{2}=\frac{xyz}{4}\);
\(xy\sqrt{z-9}=\frac{xy}{3}\sqrt{\left(z-9\right)9}\le\frac{xy}{3}\frac{\left(z-9\right)+9}{2}=\frac{xyz}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\le\frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{11}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2;y=8;z=18\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(A=xy\sqrt{z-1}+yz\sqrt{x-4}+zx\sqrt{y-9}=xy\sqrt{\left(z-1\right)\cdot1}+\frac{1}{2}yz\sqrt{\left(x-4\right)\cdot4}+\frac{1}{3}zx\sqrt{\left(y-9\right)\cdot9}\)
\(\le xy\cdot\frac{z-1+2}{2}+\frac{1}{2}yz\cdot\frac{x-4+4}{2}+\frac{1}{3}zx\cdot\frac{y-9+9}{2}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}xyz+\frac{1}{4}xyz+\frac{1}{6}xyz=\frac{11}{12}xyz\)
\(\Rightarrow A< xyz\)
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673
\(A=\sqrt{xy}\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\sqrt{yz}\)
\(A\le\frac{xy+xz+yz+xy+xz+yz}{2}=xy+yz+zx\)
\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
=> \(A\le\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{3}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{3\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+3\sqrt{x}+3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{xyz}\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+\sqrt{xyz}\sqrt{z}+\sqrt{xyz}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{yz}}{1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}}\)
\(=\dfrac{1+\sqrt{y}+\sqrt{yz}}{1+\sqrt{y}+\sqrt{yz}}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{10P-1}=\sqrt{10.1-1}=\sqrt{9}=3\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\((x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{x}{2}\geq \sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\leq \frac{xyz}{2}\)
\((y-4)+4\geq 4\sqrt{y-4}\) \(\Leftrightarrow \frac{y}{4}\geq \sqrt{y-4}\)
\(\Rightarrow zx\sqrt{y-4}\leq \frac{xyz}{4}\)
\((z-9)+9\geq 6\sqrt{z-9}\Leftrightarrow \frac{z}{6}\geq \sqrt{z-9}\)
\(\Rightarrow xy\sqrt{z-9}\leq \frac{xyz}{6}\)
Do đó:
\(Q\leq \frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}=\frac{xyz.\frac{11}{12}}{xyz}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(Q_{\max}=\frac{11}{12}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-1=1\\ y-4=4\\ z-9=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2; y=8; z=18\)