K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 11 2019

\(3\left(4a^2+6b^2+3c^2\right)-4\left(a+b+c\right)^2\)

\(=\frac{\left(4a-2b-2c\right)^2+6\left(2b-c\right)^2}{16}\ge0\)

Rồi làm nốt.

3 tháng 11 2019

Sửa lại tí: 

\(=\frac{\left(4a-2b-2c\right)^2+6\left(2b-c\right)^2}{2}\ge0\) nha!

Do đó \(4a^2+6b^2+3c^2\ge\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2=12\)

Vậy...

NV
13 tháng 5 2020

\(3^2=\left(a+b+c\right)^2=\left(\frac{1}{2}.2a+\frac{1}{\sqrt{6}}.\sqrt{6}b+\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}c\right)^2\)

\(\Rightarrow9\le\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)\left(4a^2+6b^2+3c^2\right)\)

\(\Rightarrow4a^2+6b^2+3c^2\ge\frac{9}{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3\\4a=6b=3c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)\)

NV
26 tháng 5 2019

\(N=4a^2+4+6b^2+\frac{8}{3}+3c^2+\frac{16}{3}-12\)

\(N\ge2\sqrt{16a^2}+2\sqrt{16b^2}+2\sqrt{16c^2}-12=8\left(a+b+c\right)-12=12\)

\(\Rightarrow N_{min}=12\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\frac{2}{3}\\c=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

23 tháng 3 2020

bài này nói lại 1 lần k đến lớp 9 tầm lớp 7 nhé!

vì \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

áp dụng tc dãy tỉ số = nhau

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=> a=b=c

thay b=a ; c=a 

=>bt P= \(\frac{4a+6a+2017a}{4a-6a-2017a}\)

đến đây tự làm típ!

31 tháng 3 2022

\(P=2\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}=\Sigma a+\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}\ge3.\sqrt[3]{\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}}\)

\(Q=\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}=\left(3+2\Sigma ab\right).\Sigma\dfrac{1}{a}=3\Sigma\dfrac{1}{a}+4\Sigma a+2\Sigma\dfrac{ab}{c}\ge3\Sigma\dfrac{1}{a}+6\Sigma a=3\left(\Sigma\dfrac{1}{a}+2\Sigma a\right)=3P\)\(\Rightarrow\)\(P\ge3\sqrt[3]{3P}\)   \(\Leftrightarrow P^3\ge81P\Leftrightarrow P^2\ge81\left(P>0\right)\Leftrightarrow P\ge9\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

 

31 tháng 3 2022

Vì $\large a,b,c \in\mathbb{N^*}$ và $\large a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a<\sqrt{3} & \\ b<\sqrt{3} & \\ c<\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 

Với $0 <x<\sqrt{3}$ thì $2x+\frac{1}{x} \ge x^2.\frac{1}{2}+\frac{5}{2}(*)$

Thật vậy $(*)$ $\large \Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2 \le0$

Do $\large x<\sqrt{3}\Leftrightarrow x<2\Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2<0$ (Luôn đúng)

Do đó bất đẳng thức được chứng minh 

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$

Trở lại bài toán: 

Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:

$\large 2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{15}{2}=9$

Do $a^2+b^2+c^2=3$

Vậy $GTNN=9$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $a=b=c=1$