Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách 1:
Số trong 5 số có dạng 2x.3y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0.
(x;y) chỉ có thể (C;C); (L;L); (C;L); (L;C) vì có 5 số 4 dạng nên tồn tại 2 số cùng một dạng nên tích 2 số này là số chính phương.
Cách 2:
Ta dễ dàng chứng minh được trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số bất kỳ mà tổng của chúng chia hết cho 2.
Vì số trong 5 số có dạng 2x.3y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0 nên ta luôn chọn được 2 số mà tích của nó là số chính phương.
Có 5 số, và 3 số dư khi chia cho 3 là 0;1;2
Nếu có 3,4 hay 5 số mà có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 trong số đó chia hết cho 3.
Nếu có ít hơn 3 nghĩa là nhiều nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì trong 5 số đó cùng tồn tại các số chia 3 dư 0;1;2 nên tổng 3 số có số dư khi chia cho 3 khác nhau sẽ chia hết cho 3.
Do đó trong 5 số nguyên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.
Bài 2:
Gọi hai số cần tìm là a;a+1
Theo đề, ta có:
\(\left(a+1\right)^2-a^2=2013\)
=>2a+1=2013
=>2a=2012
hay a=1006
Vậy: hai số cần tìm là 1006 và 1007
Ta ký hiệu s(n) là tổng các chữ số của số n.
Trước tiên ta cmr: "nếu số a là số đã cho có chữ số tận cùng bằng 0 (a chia hết cho 10) và sau a có ít nhất 9 số liên tiếp đã cho và s(a) chia cho 11 dư 0 hoặc 2, 3, ..., 10 thì trong các số đã cho có số mà tổng các chữ số chia hết cho 11" ♦.
CM:
Nếu s(a) chia cho 11 dư 0 thì ta có đ.p.c.m
Nếu s(a) = 11b + r với 2 ≤ r ≤ 10 => 1 ≤ 11 - r ≤ 9
=> số [a + (11 - r)] nằm trong các số đã cho do sau a có ít nhất 9 số đã cho. Có s([a + (11 - r)]) = s(a) + (11 - r) = 11(b + 1) (số a và a + (11 - r) chỉ khác nhau chữ số hàng đơn vị), tức số a + (11 - r) có tổng các chữ số chia hết cho 11 (đ.p.c.m)
Trong 39 số liên tiếp phải có ít nhất 1 số chia hết cho 10. Ta gọi k là số nhỏ nhất trong 39 số đã cho mà chia hết cho 10. Ta cmr có ít nhất 29 số đã cho lớn hơn k. Thật thế, nếu chỉ có nhiều nhất 28 số đã cho lớn hơn k thì có nghĩa là có ít nhất 10 số đã cho nhỏ hơn k, do vậy trong 10 số đó có 1 số chia hết cho 10 mà lại nhỏ hơn k, mâu thuẫn với định nghĩa của số k.
Ta xét các th:
1. s(k) chia cho 11 dư 0 hoặc dư 2, 3, ..., 10. Từ ♦ => trong các số đã cho có số có tổng các chữ số chia hết cho 11
2. s(k) = 11m + 1. Ta xét 2 th:
2.1. chữ số hàng chục của k ≤ 8
Do sau k có ít nhất 29 số đã cho nên số k + 10 nằm trong các số đã cho, và s(k + 10) = s(k) + 1 = 11m + 2 (số k + 10 chỉ khác số k bằng chữ số hàng chục tăng thêm 1), và sau (k + 10) có ít nhất 19 số đã cho nên theo ♦ trong các số đã cho có số mà tổng các chữ số chia hết cho 11
2.2. Số k có chữ số tận cùng là 9...90 (p chữ số 9 với p ≥ 1)
Số k + 10 có dạng 0...0 (có p + 1 chữ số 0). s(k + 10) = s(k) - 9p + 1 = 11(m - p) + 2(p + 1) (số k + 10 so với số k có các chữ số ở p hàng liên tiếp kể từ hàng chục giảm đi 9 và có chữ số ở hàng cao hơn tiếp theo tăng thêm 1).
Nếp 2(p + 1) chia hết cho 11 hoặc dư 2, 3, ..., 10 thì s(k + 10) chia cho 11 dư 0, 2, 3, ..., 10 vậy theo ♦ trong các số đã cho có số mà tổng các chữ số chia hết cho 11
Nếu 2(p + 1) chia 11 dư 1 => s(k + 10) = 11q + 1, mà số k + 10 có tận cùng bằng p + 1 chữ số 0 (ít nhất 2 chữ số 0 do p ≥ 1) nên với số k1 = (k + 10) + 19 có s(k1) = s(k + 10) + 1 + 9 = 11(q + 1) (do số (k + 1) + 19 và số (k + 1) chỉ khác nhau ở 2 chữ số cuối 19). Dĩ nhiên số k1 = k + 29 nằm trong 39 số đã cho do sau k có ít nhất 29 số đã cho, và có tổng các chữ số chia hết cho 11
Vậy trong 39 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại số có tổng các chữ số chia hết cho 11
Xin chém:(ko cần Đi-rích-lê nhưng cũng gần giống)
Gọi 39 số liên tiếp đó là x1;x2;x3;...;x39x1;x2;x3;...;x39 và xi=xi−1+1xi=xi−1+1 với 2⩽xi⩽392⩽xi⩽39
Trong 39 số đó chắc chắn tồn tại 1 số nhỏ nhất chia hết cho 10 và 39 số đó đều khác 0.
Gọi số nhỏ nhất chia hết cho 10 đó là xjxj và j⩽10j⩽10
Vậy có ít nhất 29 số lớn hơn xjxj.
Gọi tổng các chữ số của xjxj là a
Xét 11 số xj;xj+1;xj+2;...;xj+9;xj+19;xj+29xj;xj+1;xj+2;...;xj+9;xj+19;xj+29 có tổng các chữ số lần lượt là a;a+1;a+2;...;a+9;a+10;a+11
Vì đó là 11 số liên tiếp nên tồn tại 1 số trong dãy a;a+1;a+2;...;a+9;a+10;a+11 chia hết cho 11
Vậy ta có đpcm
Đặt \(x-y=a;y-z=b;\Rightarrow z-x=-b-a\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5=a^5+b^5+\left(-a-b\right)^5\)
\(=\left(a^5+b^5\right)+\left(-a^5-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4-b^5\right)\)
\(=-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4\)
\(=-5ab\left(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3\right)\)
\(=-5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)
\(=-5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)⋮-5ab\left(-a-b\right)\)
Hay \(\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5⋮5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)(đpcm)