![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì \(0\le x,y,z\le1\)
\(\Rightarrow xy\le y\)
\(x^2\le1\)
\(\Rightarrow x^2+xy+xz\le xz+y+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)\le1+y+xz\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{1}{x+y+z}\)
CMTT : các vế khác cug vậy
cộng các vế vào là đc
\(0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+1\ge x+y\)
Tương tự ta chứng minh được \(xz+1\ge x+z\)và \(yz+1\ge y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(x\le1\))
\(\Rightarrow\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(y\le1\))
\(\Rightarrow\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)\(z\le1\))
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)(đpcm)
Cho \(0\le x,y,z\le1\). CMR:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do \(0\le x,y,z\le1\)\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2;z\ge z^2\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow xz-x-z+1\ge0\Rightarrow xz+y+1\ge x+y+z\ge x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{x}{x^2+y^2+z^2}\)
Tương tự rồi cộng từng vế, ta có:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{3}{x+y+z}\)
=> ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có \(x\ge xy;y\ge yz;z\ge xz\)
=>\(x-xy\ge0;y-yz\ge0;z-xz\ge0\)
=>\(x+y+z-xy-yz-xz\ge0\left(1\right)\)
Xét \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=-\left(x+y+z-xy-yz-xz+xyz-1\right)\ge0\)
=>\(x+y+z-xy-yz-xz\le1-xyz\)
Mà \(0\le xyz\le1=>1-xyz\le1=>x+y+z-xy-yz-xz\le1\left(2\right)\)
Từ (1),(2) có đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(0\le x,y,z\le1\) nên \(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right);\left(0,0,1\right);\left(0,1,0\right);\left(1,0,0\right);\left(1,0,1\right);\left(0,1,1\right);\left(1,1,1\right);\left(1,1,0\right)\)
thay các giá trị trên vào bt \(x+y+z-xy-yz-xz\) đều thấy t/mãn nó \(\le1\)
ko chắc vì đề chưa cho x,y,z nguyên
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
x + y + z - xy - yz - xz \(\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)+\left(xy-y\right)+\left(yz-xyz\right)+\left(xz-z\right)+xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)+xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(\left(1-y\right)+\left(-z+yz\right)\right)+xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)+xyz\ge0\)
Đúng vì theo đề ta có: \(\hept{\begin{cases}1-x\ge0\\1-y\ge0\\1-z\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}\)
Vậy ta có ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
vì trong 3 số x,y,z có ít nhất là 2 số cùng dấu
giả sử \(x,y\le0\)\(\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\ge0\)
Mà \(-1\le x,y,z\le1\)nên \(x^2\le\left|x\right|;y^4\le\left|y\right|;z^6\le\left|z\right|\)
\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=-x-y+z=-\left(x+y\right)+z=2z\le2\)
Dấu " = " xảy ra chẳng hạn x = 0 ; y = -1; z = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
\(Do\)\(x;y\le1\Rightarrow x\ge xy\Rightarrow x-xy\ge0\)
Tương tự cộng vào đc ... >=0
Xét \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(x+y+x\right)+\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\le1-xyz\le1\)