Question

[Tea Milk]

BT1: GPT:

\(10\sqrt{x^3+1}=3\left(x^2+2\right)\)

BT2: Biểu thức \(A=2x-2\sqrt{xy}+y-2\sqrt{x}+3\) có GTNN không? Vì sao

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Bài 1:

ĐKXĐ: \(x\geq -1\)

Ta có: \(10\sqrt{x^3+1}=3(x^2+2)\)

\(\Leftrightarrow 10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=3(x^2+2)\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=a\\ \sqrt{x^2-x+1}=b\end{matrix}\right.(a,b\geq 0)\)

Khi đó: \(a^2+b^2=x^2+2\)

PT trở thành: \(10ab=3(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow (3a-b)(a-3b)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 3a=b\\ a=3b\end{matrix}\right.\)

Nếu \(3a=b\Leftrightarrow 3\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Rightarrow 9(x+1)=x^2-x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-10x-8=0\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}\) (thỏa mãn)

Nếu \(a=3b\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=3\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Rightarrow x+1=9(x^2-x+1)\)

\(\Leftrightarrow 9x^2-10x+8=0\)

\(\Leftrightarrow (3x-\frac{5}{3})^2+\frac{47}{9}=0\) (pt vô nghiệm)

Vậy \(x=5\pm \sqrt{33}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Đặt \(\sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b(a,b\geq 0)\)

Khi đó \(A=2a^2-2ab+b^2-2a+3\)

\(A=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+2\)

\(A=(a-b)^2+(a-1)^2+2\)

Ta thấy

\(\left\{\begin{matrix} (a-b)^2\geq 0\\ (a-1)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall a,b\geq 0\Rightarrow A=(a-b)^2+(a-1)^2+2\geq 2\)

Vậy $A$ có GTNN và GTNN của \(A=2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-b=0\\ a-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=1\)