Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A_n=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{\left(2n+1\right)\left(2n-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\)
\(< \dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\)
\(\Rightarrow A_1+A_2+...+A_n< 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}< 1\)
ÁP DỤNG BĐT Cauchy ta có :
\(\text{a}_1+\text{a}_2+...+\text{a}_n\ge n^n\sqrt{\text{a}_1.\text{a}_2....\text{a}_n}\) (1)
\(\frac{1}{\text{a}_1}+\frac{1}{\text{a}_2}+...+\frac{1}{\text{a}_n}\ge n^n\sqrt{\frac{1}{\text{a}_1}\cdot\frac{1}{\text{a}_2}\cdot...\cdot\frac{1}{\text{a}_n}}\)(2)
Nhân (1) và (2) vế với vế tương ứng ta có được BĐT (*)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\text{a}_1=\text{a}_2=...=\text{a}_n\\\frac{1}{\text{a}_1}=\frac{1}{\text{a}_2}=...=\frac{1}{\text{a}_n}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\text{a}_1=\text{a}_2=...=\text{a}_n\)
mày bị điên đứa nào thích thì mà đứa nào chơi truy kích cho tao nick
Gợi ý cho bạn:
Xét Aa với a nguyên dương, nhân vs can 2n-1 để dưới mẫu hết căn rồi thực hiện biến đổi thành phép trừ, sau đó phân thích theo hằng đẳng thức số 3. Nhân căn 2n-1 lức nãy vs thừa số có 2 phép cộng sau khi ph rồi cm thừa số sau nhân <1