Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho a, b, c, d là các chữ số thỏa mãn: ab+ca=da ab-ca=a Tìm giá trị của d.
\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?
\(\sqrt{ab}+\sqrt{4b.c}+2\left(a+c\right)\le\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{1}{2}\left(4b+c\right)+2\left(a+c\right)=\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}\right)=\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{10}\ge-\dfrac{1}{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=4\\a=b=\dfrac{c}{4}\end{matrix}\right.\) em tự giải ra a;b;c
Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và
\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)
\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)
\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))
\(T\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)
Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!
\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)
\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)