Question

[Nguyễn Trà My]

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB=AC, kẻ Ah ⊥ BC tại H.
a) So sánh độ dài hai đoạn thẳng BH và CH;
b) Biết AH = 12cm và BH = 5cm, tính AB;
c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho
BD=CE. Kẻ DM ⊥ BC tại M, kẻ En ⊥ BC tại N. Chứng minh BM = CN và tam giác
AMN cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC và tia phân giác góc A cắt BC ở H.
a) Chứng minh △ABH=△ACH . b) Chứng minh AH ⊥ BC.
c) Vẽ HD ⊥ AB (D ∈ AB) và HE ⊥ AC (E ϵ AC) . Chứng minh DE // BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC, E là trung điểm BC, trên tia đối của tia EA lấy điểm
D sao cho AE = ED.
a) Chứng minh: △ABE = △DCE. b) Chứng minh: AB // DC.
c) Chứng minh: AE ⊥ BC. d) Tìm điều kiện của △ABC để ∠ADC = 45 độ
Giúp mình vs ạ UwU

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒BH=CH(hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

hay \(AB=\sqrt{12^2+5^2}=13cm\)

Vậy: AB=13cm

c)

*Chứng minh BM=CN

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{MBD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\)(hai góc đối đỉnh)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)

Xét ΔMBD vuông tại M và ΔNEC vuông tại N có

BD=CE(gt)

\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)(cmt)

Do đó: ΔMBD=ΔNEC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒BM=CN(hai cạnh tương ứng)

*Chứng minh ΔANM cân

Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét ΔABM và ΔACN có

BM=CN(cmt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)

AB=AC(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)

⇒AM=AN(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)(đpcm)

Bài 2:

a) Xét ΔABH và ΔACH có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(do AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

AH là cạnh chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(c-g-c)

b) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)

⇒\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

⇒AH⊥BC(đpcm)

c) Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có

AH là cạnh chung

\(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\)(do AH là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\))

Do đó: ΔADH=ΔAEH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔADE có AD=AE(cmt)

nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)(đpcm)

Bài 3:

a) Xét ΔABE và ΔDEC có

AE=ED(gt)

\(\widehat{AEB}=\widehat{CED}\)(hai góc đối đỉnh)

BE=EC(do E là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABE=ΔDEC(c-g-c)

b) Ta có: ΔABE=ΔDEC(cmt)

⇒\(\widehat{BAE}=\widehat{EDC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAE}\) và \(\widehat{CDE}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

c) Xét ΔAEB và ΔAEC có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AE là cạnh chung

BE=EC(E là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAEB=ΔAEC(c-c-c)

⇒\(\widehat{AEB}=\widehat{AEC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AEB}+\widehat{AEC}=180^0\)(kề bù)

nên \(\widehat{AEB}=\widehat{AEC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

⇒AE⊥BC(đpcm)

d) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

mà AB=DC(do ΔABE=ΔDEC)

nên AC=DC

Xét ΔACD có AC=DC(cmt)

nên ΔACD cân tại C(định nghĩa tam giác cân)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=180^0-2\cdot\widehat{ADC}\)(số đo của góc ở đỉnh trong ΔACD cân tại C)(1)

Thay \(\widehat{ADC}=45^0\) vào biểu thức (1), ta được

\(\widehat{ACD}=180^0-2\cdot45^0=90^0\)

Ta có: AB//CD(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180^0\)(hai góc trong cùng phía)

hay \(\widehat{BAC}=180^0-\widehat{ACD}=180^0-90^0=90^0\)

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90^0\) thì \(\widehat{ADC}=45^0\)