Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos2x+3msinx+sinx-1\right)=m\left(1-sinx\right)\left(1+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\cos2x+3m.sinx+sinx-1=m\left(1+sinx\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 5 nghiệm khác nhau trên khoảng đã cho thỏa mãn \(sinx\ne1\)
Xét (1):
\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+3msinx+sinx-1=m+m.sinx\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-2m.sinx+m=0\)
\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx-1\right)-m\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\\sinx=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có 3 nghiệm khác nhau trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)
\(\Leftrightarrow-1< m< 0\)
1.
\(cos2x-3cosx+2=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn
\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)
\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)
2.
\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)
Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(m=2\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)
\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2: \(m=3\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)
\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH3: \(m=1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy \(m=2;m=3\)
24.
\(cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\le1\Rightarrow y\le3.1+1=4\)
\(y_{max}=4\)
26.
\(y=\sqrt{2}cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
Do \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\le1\Rightarrow y\le\sqrt{2}\)
\(y_{max}=\sqrt{2}\)
b.
\(\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
1/ ĐKXĐ: \(sinx\ne0\)
\(\Leftrightarrow a.cos2x+sinx=\frac{cos^2x}{sinx}\)
\(\Leftrightarrow a.cos2x.sinx+sin^2x-cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow a.cos2x.sinx-cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x\left(a.sinx-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\a.sinx-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(cos2x=0\) có 4 nghiệm trên khoảng đã cho nên để pt có đúng 4 nghiệm thì (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm \(sinx=0\)
Với \(a=0\Rightarrow-1=0\) pt vô nghiệm (thỏa mãn)
Với \(a\ne0\Rightarrow sinx=\frac{1}{a}\Rightarrow\) để pt vô nghiệm thì \(\left|\frac{1}{a}\right|>1\Rightarrow-1< a< 1\)
Vậy \(-1< a< 1\)
2/
\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-\left(2cos^2x-1\right)+m.cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-2cos^2x+m.cosx=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(4cos^2x-2cosx+m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\4cos^2x-2cosx+m-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(cosx=0\) có 2 nghiệm thuộc \(\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right)\) , dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy để pt có 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng đó thì (1) có 5 nghiệm sao cho \(-1< cosx_1< 0< cosx_2< 1\)
Đặt \(cosx=a\Rightarrow4a^2-2a+m-3=0\) (2)
Ta cần tìm m để (2) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< a_1< 0< a_2< 1\)
Để (2) có 2 nghiệm trái dấu thì \(4\left(m-3\right)< 0\Rightarrow m< 3\)
Để (2) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< a_1< a_2< 1\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)>0\\f\left(1\right)>0\\-1< \frac{S}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m>1\\-1< \frac{1}{4}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)
Vậy \(1< m< 3\)