Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{-1}{-m}\)
\(\Leftrightarrow-m^2\ne-4\)
\(\Leftrightarrow m^2\ne4\)
hay \(m\notin\left\{2;-2\right\}\)
Bài 1:
- Với \(m=0\) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}0x+y=3.0-1\\x+0y=0+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=0\) hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
- Với \(m\ne0\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2x-my=-3m^2+m\\x+my=m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)x=-3m^2+2m+1\left(1\right)\)
- Với \(m=1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=0\) (phương trình vô số nghiệm).
\(\left(2\right)\Rightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\)
- Vậy với \(m=1\) thì hệ đã cho có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-x\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=-4\) (phương trình vô nghiệm)
Vậy với \(m=-1\) thì hệ đã cho vô nghiệm
Với \(m\ne\pm1,0\).
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+2m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+3m-m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m\left(1-m\right)+\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(1-m\right)\left(3m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m+1}\)
Thay vào (2) ta được:
\(\dfrac{3m+1}{m+1}+my=m+1\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=m^2+2m+1\)
\(\Leftrightarrow my\left(m+1\right)=m^2-m\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(m-1\right)}{m\left(m+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m-1}{m+1}\)
Vậy với \(m\ne\pm1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3m+1}{m+1};\dfrac{m-1}{m+1}\right)\).
Bài 2:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\left(2\right)\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+4\left(m+1\right)y=-4\\4x-y=-2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\left(m+1\right)y-y=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(4m+3\right)y=-6\)
\(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{4m+3}\)
Để y nguyên thì:
\(6⋮\left(4m+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(4m+3\right)\inƯ\left(6\right)\)
\(\Rightarrow4m+3\in\left\{1;2;3;6;-1;-2;-3;-6\right\}\)
| 4m+3 | 1 | 2 | 3 | 6 | -1 | -2 | -3 | -6 |
| m | -1/2 (loại) | -1/4 (loại) | 0 (nhận) | 3/4 (loại) | -1 (nhận) | -5/4 (loại) | -3/2 (loại) | -9/4 (loại) |
\(\Rightarrow m\in\left\{0;-1\right\}\)
Với \(m=0\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.0+3}=-2\)
Thay vào (1) ta được:
\(4x-\left(-2\right)=-2\Leftrightarrow x=-1\)
Thử lại \(x=-1;y=-2\) cho (2) ta thấy phương trình nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Với \(m=-1\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.\left(-1\right)+3}=6\)
Thay \(y=6\) vào (2) ta được:
\(4x-6=-2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Thử lại \(x=1;y=6\) cho (2) ta thấy pt nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;6\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Để hệ vô nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}< >\dfrac{2m}{m+6}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{4}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m}< >\dfrac{2m}{m+6}\\\dfrac{m}{4}< >\dfrac{2m}{m+6}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\2m^2< >m+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\2m^2-m-6< >0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left(m-2\right)\left(2m+3\right)< >0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m\notin\left\{2;-\dfrac{3}{2}\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)
Để hệ vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{2m}{m+6}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{4}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m}=\dfrac{2m}{m+6}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\2m^2=m+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\2m^2-m-6=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\2m^2-4m+3m-6=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left(m-2\right)\left(2m+3\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=m\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
- Với \(m=\pm1\Rightarrow0.x=-1\) hệ vô nghiệm
- Không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm
- Với \(m\ne\pm1\) hệ có nghiệm duy nhất
a: Để hệ có duy nhất 1 nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}< >\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{1}{m}\)
=>m^2<>4
=>m<>2 và m<>-2
b: Để hệ có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{2m}{m+6}=\dfrac{1}{m}\)
=>m^2=4 và 2m^2=m+6
=>m=2
c: Để hệ vô nghiệm thì m/4=1/m<>2m/m+6
=>m=-2
a) \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=1.\\x+my=m+1.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1-mx.\\x+m\left(1-mx\right)=m+1.\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(x+m\left(1-mx\right)=m+1.\Leftrightarrow x+m-m^2x-m-1=0.\Leftrightarrow\left(1-m^2\right)x-1=0.\left(2\right)\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. \(\Leftrightarrow\) (2) có nghiệm duy nhất.
\(\Leftrightarrow1-m^2\ne0.\Leftrightarrow m^2\ne1.\Leftrightarrow m\ne\pm1.\)
b) Để hệ phương trình có vô số nghiệm. \(\Leftrightarrow\) (2) có vô số nghiệm.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m^2=0.\\-1=0.\end{matrix}\right.\) (vô lý).
\(\Rightarrow m\in\phi\).
c) Để hệ phương trình có vô nghiệm. \(\Leftrightarrow\) (2) có vô nghiệm.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m^2=0.\\-1\ne0.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow1-m^2=0.\Leftrightarrow m^2=1.\Leftrightarrow m=\pm1.\)
c) Để hệ phương trình vô nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}\ne\dfrac{2m}{6+m}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{4}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{2m}{6+m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\m\left(m+6\right)\ne8m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m^2+6m-8m\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m^2-2m\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m\left(m-2\right)\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m-2\ne0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)
b) Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{2m}{6+m}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{4}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{m}{4}=\dfrac{2m}{6+m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\m\left(6+m\right)=8m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\6m+m^2-8m=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m^2-2m=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m\left(m-2\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left[{}\begin{matrix}m=0\\m-2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)