Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\). Khi đó \(A\ge\dfrac{\pi}{3};C\le\dfrac{\pi}{3}\)
Vì \(\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\) và \(\pi\ge A+B=\pi-C\ge\dfrac{2\pi}{3}\) nên
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\ge A+B\ge\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+0=A+B+C=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Ta có: \(f"\left(x\right)=-\cos x< 0\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) nên hàm số \(f\left(x\right)\) lõm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Khi đó, theo BĐT Karamata ta có:
\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(0\right)\le f\left(A\right)+f\left(B\right)+f\left(C\right)\le3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
Hay \(\cos A+\cos B+\cos C\le\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng tính chất: Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d .
Có thể lấy ví dụ để thấy các bất đẳng thức còn lại không đúng. ( bỏ đi)
Đáp án là D.
Áp dụng tính chất: Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d , từ đó suy ra a - d > b - c .
Có thể lấy ví dụ để thấy các bất đẳng thức còn lại không đúng. ( bỏ đi)
Đáp án là C.
Nếu a> b >0 và c> d > 0 thì
* a+ c > b + d
* Từ a > b > 0 và c > 0 nên ac > bc (1)
Lại có c > d và b > 0 nên bc > bd (2)
Từ(1) và (2) suy ra: ac > bd.
* Ta có:
a b > b b = 1 ; d c < c c = 1 ⇒ a b > 1 > d c
Vậy khẳng định C sai.
Áp dụng tính chất:
+ Nếu a > b và c là số dương thì ac > bc.
+ Nếu a > b > 0 thì a 2 > b 2 .
+ Nếu a > b > 0 , c > d > 0 thì ac > bd.
Do đó ba bất đẳng thức ở các phương án A, C, D đều đúng.
Bất đẳng thức ở phương án B không đúng, chẳng hạn 5>3,4>1 mà 5-4<3-1. Vậy đáp án là B.
Coi như a, b, c là số dương
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{c}{ba}}=2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{2}{b}\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra ...
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{c^2}}=\dfrac{2}{c}\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra ...
\(\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{a^2}}=\dfrac{2}{a}\left(3\right)\)
Dấu "=" xảy ra ...
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\\ \Rightarrow2\left(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra ...
Vậy ...
Áp dụng tính chất: Nếu a > b và c là số bất kì thì a + c > b + c.
Có thể lấy ví dụ để thấy các bất đẳng thức còn lại không đúng. ( bỏ đi)
Đáp án là C.
Do a< b mà 2 > 0 nên 2a < 2b (*)
Cộng cả 2 vế của (*) với 5c ta được: 2a + 5c < 2b + 5c
Để hiểu sâu cần bắt nguồn từ cái này: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) {gốc lớp 8}
đẳng thức khi a=b
\(\left(a-b\right)^2=a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(1) đẳng thức khi a=b
tương tự có \(c^2+d^2\ge2cd\) (2)
đẳng thức khi c=d
hiển nhiên \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge0\\c^2+d^2\ge0\end{matrix}\right.\) với mọi a,b,c,d thuộc R
Nhân (1) với (2) => điều cần chứng minh
Đẳng thức khi a=b và c=d
ta có: \(ac+bd\ge2\sqrt{acdb}\Rightarrow\left(ac+db\right)^2\ge4acdb\). nên ta có hệ quả của bất đẳng thức cô-si.
để xảy ra cả bất đẳng thức và hệ quả thì a = b = c = d.