Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác DEBF có
BE//DF
BE=DF
Do đó: DEBF là hình bình hành
b: ta có: DEBF là hình bình hành
nên Hai đường chéo DB và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)
Ta có:ABCD là hình bình hành
nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD,EF,AC đồng quy
Bài 1:
a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)
\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)
\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC
\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)
mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)
CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)
\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)
Xét tứ giác MEPF có:
\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)
b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)
\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc) (4)
Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)
\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)
Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)
\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC
\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)
\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)
Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm
c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)
\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)
CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)
Mà Q,F,E,N thẳng hàng
\(\Rightarrow AB//CD\)
Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện \(AB//CD\)
a, Ta có:ABCD la hình bình hành=>AB=CD;AB//CD
mà E là trung diểm của AB;Flà trung điểm của CD
=>AE=EB=CF=DF(1)
VÌ AB//CD=>EB//DF(2)
Từ(1) và (2)=> EBFD là hình bình hành( theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành)(đpcm)
b, Xét hbh ABCD có
AC cắt BD tại trung diểm củaAC và BD(1)
Xét hbh EBFD có EF cắt BD tại trung điểm của EF và BD(2)
từ (1) và (2)=>ba dường thang AC,BD,EF đồng quy
c,GỌI GIAO DIỂM CỦA AC,BD,EF LÀ O
Xét tam giác EOM và tam giác NOF có
góc EOM=góc NOF( đói đỉnh)
OE=OF(vi O là trung điểm cua EF)
goc MEF=góc NFE(vì CE//BF)
=>TAM GIAC EOM=TAMGIAC NOF
=.ME=NF(1)
TA CÓ ME//FN(2)
TU (1) VA(2)=>ENFM LA HBH
Bài 2:
a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt).
=> \(AB=CD\) (tính chất hình bình hành).
=> \(AB\) // \(CD\) (định nghĩa hình bình hành).
Hay \(AE\) // \(CF.\)
+ Vì E là trung điểm của \(AB\left(gt\right)\)
=> \(AE=\frac{1}{2}AB\) (tính chất trung điểm) (1).
+ Vì F là trung điểm của \(CD\left(gt\right)\)
=> \(CF=\frac{1}{2}CD\) (tính chất trung điểm) (2).
Mà \(AB=CD\left(cmt\right)\) (3).
Từ (1), (2) và (3) => \(AE=CF.\)
Xét tứ giác \(AECF\) có:
\(AE\) // \(CF\) và \(AE=CF\left(cmt\right)\)
=> Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
=> \(AF\) // \(CE\) (định nghĩa hình bình hành).
Hay \(FM\) // \(EN\) (4).
+ Vì \(AB\) // \(CD\left(cmt\right)\)
=> \(BE\) // \(DF.\)
+ Vì E là trung điểm của \(AB\left(gt\right)\)
=> \(BE=\frac{1}{2}AB\) (tính chất trung điểm) (5).
+ Vì F là trung điểm của \(CD\left(gt\right)\)
=> \(DF=\frac{1}{2}CD\) (tính chất trung điểm) (6).
Từ (3), (5) và (6) => \(BE=DF.\)
Xét tứ giác \(BFDE\) có:
\(BE\) // \(DF\) và \(BE=DF\left(cmt\right)\)
=> Tứ giác \(BFDE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
=> \(BF\) // \(DE\) (định nghĩa hình bình hành).
Hay \(FN\) // \(EM\) (7).
Từ (4) và (7) => Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (định nghĩa hình bình hành).
b) Gọi O là giao điểm của \(AC\) và \(EF.\)
+ Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt).
=> 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (tính chất hình bình hành).
=> \(AC\) đi qua trung điểm O của \(BD\) (*).
+ Vì tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (cmt).
=> 2 đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (tính chất hình bình hành).
=> \(EF\) đi qua trung điểm O của \(AC\) (**).
+ Vì tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (cmt).
=> 2 đường chéo MN và EF cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (tính chất hình bình hành).
=> \(MN\) đi qua trung điểm O của \(EF\) (***).
Từ (*), (**) và (***) => \(AC,EF,MN\) đồng quy tại O (đpcm).
Chúc bạn học tốt!