Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Do a,b,c đối xứng , giả sử \(a\ge b\ge c\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Trư - bê - sép , ta có :
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{b+c}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\left(\frac{a}{b+C}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
\(vậy\) \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)( Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Chebyshev như vầy nhé :
Ta có :
\(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Nesbit , ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra : \(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
2.
a, Có : (a+b+c).(1/a+1/b+1/c)
>= \(3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
= 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
2.
b, Xét : 2(a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9 ( theo bđt ở câu a đã c/m )
<=> (a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b + 3 >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 9/3 - 3 = 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
a. Ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\\ \Rightarrow a^2+1\ge2a\left(đpcm\right)\)
b.
Theo câu a, ta có \(a^2+1\ge2a,\\ b^2+1\ge2b,\\ c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{b}{b^2+1}\le\frac{b}{2b}=\frac{1}{2},\frac{c}{c^2+1}\le\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Đặt P=\(4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+5\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(5a^2+\frac{4}{a}\right)+\left(5b^2+\frac{4}{b}\right)+\left(5c^2+\frac{4}{c}\right)\)
Lại có:\(a^3+b^3+c^3=3\)và \(a,b,c>0\)\(\Rightarrow0< a,b,c\le\sqrt[3]{3}\)
Ta chứng minh cho:
\(5x^2+\frac{4}{x}\ge2x^3+7\)với \(0< x\le\sqrt[3]{3}\)
\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{4}{x}-2x^3-7\ge0\)
\(\Leftrightarrow5x^3+4-2x^4-7x\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^4-5x^3+7x-4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-x-4\right)\left(x-1\right)^2\le0\)
Nhận thấy \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\2x^2-x-4< 0\forall0< x\le\sqrt[3]{3}\end{cases}}\)\(\Rightarrow5x^2+\frac{4}{x}\ge2x^3+7\)\(\left(1\right)\)
Áp dụng (1).Ta có:
\(P\ge2a^3+7+2b^3+7+2c^3+7\) với \(0< a,b,c\le\sqrt[3]{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+21\)
\(\Leftrightarrow P\ge27\) Do:\(a^3+b^3+c^3=3\)\(\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi:
\(a=b=c=1\)