PA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
5 tháng 5 2018
\(a^2+1=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
tương tự \(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(b+c\right)=a^2b+b^2a+c^2a+a^2c+b^2c+c^2b+2abc\)
\(\Rightarrow\)VT=\(a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c+3abc\) =\(ab\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+ca\left(a+b\right)+c\left(ab+bc+ca\right)\)=a+b+c
ta có (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)=3 nên a+b+c>=căn3(đccm)
10 tháng 1 2016
\(x^4+\sqrt{x^2+3}=3\)
\(\Leftrightarrow x^4-1+\sqrt{x^2+3}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\frac{x^2+3-4}{\sqrt{x^2+3}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2+3}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1+\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)vì \(x^2+1+\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}>0\)
\(\Leftrightarrow\int^{x=1}_{x=-1}\)
\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\left(x;y;z>0\right)\)
Ta được: \(x+y+z+xy+xz+yz=6\)
Ta đi chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Có: \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)(Cô-si)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)(Cô-si)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2\left(xy+xz+yz\right)\)(2)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
cộng vế với vế của (1) và (2)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1<=>a=b=c=1
Nhớ tick nhé
S
22 tháng 12 2019
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{ac+bc+c^2+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(tt\Rightarrow2\text{ lần biểu thức}=2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+2\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\le\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\left(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\right)=3\Rightarrow dpcm\)
9 tháng 9 2017
1, C/m : a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab)
Ta có : 2( a^3 + b^3 + c^3 ) = ( a^3 + b^3 + c^3 ) + ( a^3 + b^3 + c^3 )
≥ 3abc + a^3 + b^3 + c^3 ( BĐT Côsi )
= a^3 + abc + b^3 + abc + c^3 + abc ≥ 2.a^2.căn (bc) + 2.b^2.căn (ac) + 2.c^2.căn (ab) ( BĐT Côsi )
=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
2, C/m : (a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (3/2)(a + b + c) ( 1 )
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho phân số ( :D ) ta được :
(a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (a^2 + b^2 + c^2).[(1+1+1)^2/(a+b+b+c+a+c)] = (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)]
(1) <=> (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] ≥ (3/2)(a + b + c)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca.
BĐT cuối đúng nên => đpcm !
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
3, C/m : a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc
Ta có : 2( a^4 + b^4 + c^4 ) = (a^4 + b^4 +c^4) + (a^4 + b^4 +c^4)
≥ ( a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 ) + (a^4 + b^4 +c^4) = ( a^4 + b^2.c^2 ) + ( b^4 + c^2.a^2 ) + ( c^4 + a^2.b^2 )
≥ 2.a^2.bc + 2.b^2.ca + 2.c^2.ab ( BĐT Côsi )
= 2.abc(a + b + c)
Do đó a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
1 tháng 3 2020
Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
khi đó:
\(P\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)=> \(\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy max P = 3 tại a = b = c =1.
T
1 tháng 3 2020
Không thích làm cách này đâu nhưng đường cùng rồi nên thua-_-
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{y+z}=b;\sqrt{z+x}=c\) suy ra
\(x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\). Ta cần chứng minh:
\(abc\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có đpcm.
KN
5 tháng 12 2019
Ta có: a + b + c = 2 nên \(2c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ac+bc+c^2+ab\)
\(=\left(ca+c^2\right)+\left(bc+ab\right)=c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\)\(=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)(Vì a,b,c thực dương)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)(cmt)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}\right)\)(nhân 2 vế cho ab thực dương) (1)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow b+c=c+a\Leftrightarrow a=b\))
Tương tự ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow b=c\)) (2)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{b+a}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=c\)) (3)
Cộng các BĐT (1) , (2) , (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{cb}{c+a}+\frac{ac}{b+a}+\frac{ac}{c+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{a\left(c+b\right)}{c+b}+\frac{c\left(b+a\right)}{b+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Vậy \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\)\(+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\)\(+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\))
C
5 tháng 12 2019
Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)
Khi đó:
\(P\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)
\(=\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{b+a}\)
\(=a+b+c=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
TT
1
Xét \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\) = \(\sqrt{\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab}\) = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\)
>= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)( bđt ab <= (a+b)^2/4) = 1/2 (a+b)
Tương tự căn (b^2-bc+c^2) >= 1/2(b+c) ; (c^2-ca+a^2) >= 1/2 (c+a)
=> B >= 1/2 . (a+b+b+c+c+a) = 1/2 . 2 . (a+b+c) = 1 => ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3