Question

[Jenner]

a) Tìm số nguyên tố p thoả mãn \(2^p+1⋮p\)
b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào thoả mãn \(2^n+1⋮7\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a. Ta có: \(2^p+1=\left(2^p-2\right)+3\)

Mà theo định lý Ferma nhỏ: \(2^p-2⋮p\Rightarrow3⋮p\Rightarrow p=3\)

b.

 - Với \(n=3k\Rightarrow2^n+1=2^{3k}+1=8^k+1\)

Mà \(8\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow8^k+1\equiv2\left(mod7\right)\Rightarrow\) ko chia hết cho 7

- Với \(n=3k+1\Rightarrow2^n+1=2^{3k+1}+1=2.8^k+1\)

\(2.8^k+1\equiv3\left(mod7\right)\Rightarrow\) ko chia hết cho 7

- Với \(n=3k+2\Rightarrow2^n+1=2^{3k+2}+1=4.8^k+1\)

\(4.8^k+1\equiv5\left(mod7\right)\Rightarrow\) không chia hết cho 7

Vậy \(2^n+1\) ko chia hết cho 7 với mọi n