Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với 2 số thực x,y>0, ta có:
\(x^3+y^3-x^2y-xy^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\).
Do đó: \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow x+y\le\sqrt[3]{4x^3+4y^3}\)Áp dụng bđt vừa cm, ta có: \(S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}\le\sqrt[3]{8a+12b+4c}+\sqrt[3]{8c+12d+4a}\le\sqrt[3]{48a+48b+48c+48d}=\sqrt[3]{48}\)(vì a+b+c+d=1)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)(vì a+b+c+d=1)
Bn ơi 3x3 + 3y3 vào cả 2 vế thì 4x3 + 4y3 > 3x3 + 3y3 + x2y + xy2 k phải là (x + y)3
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
\(S^3=\left(\sqrt[3]{ab+2ac}.1.1+\sqrt[3]{bc+2ba}.1.1+\sqrt[3]{ca+2cb}.1.1\right)^3\le\left(ab+2ac+bc+2ba+ca+2cb\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)=27\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b+c\right)^2=81\)
\(\Rightarrow S\le3\sqrt[3]{3}\)
...
Bài 1:
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2
Bài 2/
\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
có cả mấy bất đẳng thức đó hả
bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs
mk thanks
Nè bạn :)
Ta có : \(2ab+2ac\ge4a\sqrt{bc}\) (Cauchy_)
\(\Rightarrow a^2+2ab+2ac+4bc\ge a^2+4a\sqrt{bc}+4bc\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+2ac+4bc\ge\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}\ge a+2\sqrt{bc}\)\(\left(1\right)\)
Tương tự : \(\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}\ge b+2\sqrt{ac}\)\(\left(2\right)\)
\(\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}\ge c+2\sqrt{ab}\)\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge3\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Thay vào biểu thức M ta được M = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(A^2=\left(1.\sqrt{2a+b+1}+1.\sqrt{2b+c+1}+1.\sqrt{2c+a+1}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3.3\left(a+b+c+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (Vì A > 0)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{2a+b+1}=\sqrt{2b+c+1}=\sqrt{2c+a+1}\\a+b+c=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 tại a = b = c = 1