Question

[Lê Tài Bảo Châu]

a)  Xét tam giác AEQ và tam giác BEC có: 

\(\hept{\begin{cases}AE=EB\left(gt\right)\\\widehat{E1}=\widehat{E2}\left(2gocdoidinh\right)\\EQ=EC\left(gt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta AEQ=\Delta BEC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AQ=BC\left(2canht.ung\right)\left(1\right)\\\widehat{Q}1=\widehat{C1}\left(2goct.ung\right)\end{cases}}\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}AP=BC\left(2\right)\\\widehat{P1}=\widehat{B1}\end{cases}}\)( hơi tắt bạn tự làm nha ) 

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AP=AQ\)

b,c  Ta có: \(\widehat{Q1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\)mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow AQ//BC\left(3\right)\)

Tượng tự \(AP//BC\left(4\right)\)

từ (3) và (4) \(\Rightarrow A,P,Q\)thẳng hàng ( tiên đề Ơ-clit )

d) Vì \(AQ=AQ=BC\left(cmt\right)\)và \(A,P,Q\)thẳng hàng (cmt)

\(\Rightarrow PQ=2BC\)

Lại có: \(PQ//BC\left(cmt\right)\)( ngoặc 2 dòng này vào dòng này và dòng trên )

\(\Rightarrow BC\)là đường trung bình của tam giác QPR.

\(\Rightarrow B\)là trung điểm của QR

và   C là trung điểm của PR

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}QR=2QB\left(5\right)\\PR=2PC\end{cases}}\)

làm tắt chút nha :

Chứng minh \(\Delta QBE=\Delta CAE\)

\(\Rightarrow QB=AC\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow QR=2AC\)

Chứng minh tương tự \(PR=2AB\)

\(\Rightarrow QP+PR+QR=2\left(AB+AC+BC\right)\)

\(\Rightarrow\)chu vi tam giác PQR= 2 lần chu vi tam giác ABC