K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
NH
27 tháng 2 2020
3. a) \(A=x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=3\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=2\)
Min \(A=3\Leftrightarrow x=2\)
b) \(B=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{4}{x}+4x+\frac{1}{4y}+4y\cdot-4\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{4}{x}\cdot4x}+2\sqrt{\frac{1}{4y}\cdot4y}-4\cdot\frac{5}{4}=5\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{4}{x}=4x\\\frac{1}{4y}=4y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Min \(B=5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
4. Chắc đề là tìm min???
\(C=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{a+b}}+\frac{3}{1}=5\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=\frac{1}{a+b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Min \(C=5\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
NH
27 tháng 2 2020
1. Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\right)+\left(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)+\left(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\right)\)
\(\ge\frac{4}{2p-a-b}+\frac{4}{2p-b-c}+\frac{4}{2p-a-c}\) \(=\frac{4}{c}+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
2. Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\) . Dấu "=" \(\Leftrightarrow b-1=1\Leftrightarrow b=2\)
+ Tương tự : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=2\)
Do đó: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=2\)
5.AB/X+5.2/3.AB/X=AB
<=>5AB/X+(5.2.AB)/(3.X)=AB
<=>5AB/X+10AB/3X=AB
<=>15AB/3X+10AB/3X=AB
<=>(15AB+10AB)/3X=AB
<=>25AB/3X=AB
<=>25AB/AB=3X
<=>3X=25<=>X=25/3
Vậy X=25/3