Câu hỏi của Ngọc Bích

Question

2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Nguyễn Thiên Kim · Accepted Answer

Do vai trò của $x,$$y,$$z$ là như nhau nên giả sử $z\ge y\ge x\ge1.$Ta sẽ thử trực tiếp một vài trường hợp:      $-$ Nếu $x=1$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ ( vô nghiệm)      $-$ Nếu $x=2$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$$2y+2z=yz$ $\Leftrightarrow$  $\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4$       Mà $0\le y-2\le z-2$và $4⋮\left(y-2\right),$ $4⋮\left(z-2\right)$Do đó ta có các trường hợp: $\hept{\begin{cases}y-2=1\rightarrow y=3\z-2=4\rightarrow z=6\end{cases}}$                                           $\hept{\begin{cases}y-2=2\rightarrow y=4\z-2=2\rightarrow z=4\end{cases}}$     $-$ Nếu $x=3$ thì  $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$       + Nếu $y=3$ thì $z=3$                                                                              + Nều $y\ge4$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}< \frac{1}{3}$                                                                                $\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm      $-$Nếu $x=4$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}< 1$   $\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm          Vậy tóm lại phương trình đã cho có 10 nghiệm (bạn tự liệt kê)Câu trả lời: Do vai trò của $x,$$y,$$z$ là như nhau nên giả sử $z\ge y\ge x\ge1.$Ta sẽ thử trực tiếp một vài trường hợp:      $-$ Nếu $x=1$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ ( vô nghiệm)      $-$ Nếu $x=2$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$$2y+2z=yz$ $\Leftrightarrow$  $\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4$       Mà $0\le y-2\le z-2$và $4⋮\left(y-2\right),$ $4⋮\left(z-2\right)$Do đó ta có các trường hợp: $\hept{\begin{cases}y-2=1\rightarrow y=3\z-2=4\rightarrow z=6\end{cases}}$                                           $\hept{\begin{cases}y-2=2\rightarrow y=4\z-2=2\rightarrow z=4\end{cases}}$     $-$ Nếu $x=3$ thì  $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$       + Nếu $y=3$ thì $z=3$                                                                              + Nều $y\ge4$ thì $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}< \frac{1}{3}$                                                                                $\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm      $-$Nếu $x=4$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}< 1$   $\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm          Vậy tóm lại phương trình đã cho có 10 nghiệm (bạn tự liệt kê)

alibaba nguyễn · Answer

Không mất tính tổng quát ta giả sử$x\ge y\ge z>0$$\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}$$\Rightarrow1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}$$\Rightarrow z\le3$$\Rightarrow z=1;2;3$*Với z = 1 thì $\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0$(sai vì x, y nguyên dương)*Với z = 2 thì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}$$\Rightarrow y\le4$$\Rightarrow y=1;2;3;4$+Với y = 1$\Rightarrow\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$(loại)+Với y = 2 thì$\Rightarrow\frac{1}{x}=0$(loại)+Với y = 3 thì$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$\Rightarrow x=6$+Với y = 4 thì$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow x=4$*Với z = 3 thì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}$$\Rightarrow y\le3$$\Rightarrow y=1;2;3$+ Với y = 1 thì$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$(loại)+ Với y = 2 thì$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$\Rightarrow x=6$+ Với y = 3 thì$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow x=3$Tới đây thì bạn tự kết luận nhé Câu trả lời: Không mất tính tổng quát ta giả sử$x\ge y\ge z>0$$\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}$$\Rightarrow1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}$$\Rightarrow z\le3$$\Rightarrow z=1;2;3$*Với z = 1 thì $\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0$(sai vì x, y nguyên dương)*Với z = 2 thì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}$$\Rightarrow y\le4$$\Rightarrow y=1;2;3;4$+Với y = 1$\Rightarrow\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$(loại)+Với y = 2 thì$\Rightarrow\frac{1}{x}=0$(loại)+Với y = 3 thì$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$\Rightarrow x=6$+Với y = 4 thì$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow x=4$*Với z = 3 thì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}$$\Rightarrow y\le3$$\Rightarrow y=1;2;3$+ Với y = 1 thì$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$(loại)+ Với y = 2 thì$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$\Rightarrow x=6$+ Với y = 3 thì$\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow x=3$Tới đây thì bạn tự kết luận nhé

x - 4	1	16	4	-4	-16	-1
y - 4	16	1	4	-4	-1	-16
x	5 (tm)	20 (tm)	8(tm)	0(loại)	-12(loại)	3
y	20 (tm)	5 (tm)	8 (tm)	0(loại)	3	-12(loại)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP