Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A=\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=a\left(a>0\right)\)
vì x,y>0 áp dụng bđt cô si
\(x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(1\ge x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(\frac{1}{4}\ge\frac{x}{y}\)
\(0< a\le\frac{1}{4}\)
Có A=\(a+\frac{1}{a}\left(với0< a\le\frac{1}{4}\right)\)
A=\(16a+\frac{1}{a}-15a\)
a>0 cô si
A\(\ge2\sqrt{16a\cdot\frac{1}{a}}-15\cdot\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)
D=XR x=y=1/2
Vì a,b>0
A\(\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}\cdot\sqrt{1+x^2y^2}\)
A\(\ge2\sqrt{\frac{1+x^2y^2}{xy}}\)
A\(\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)
Đặt xy=a, a>0
Ta cs xy\(\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)
ĐK 0<a<\(\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\sqrt{\frac{1}{a}+a}\)
A\(\ge2\sqrt{16a+\frac{1}{a}-15a}\)
a>0, áp dụng bđt cô si
\(A\ge2\sqrt{2\sqrt{16a\cdot\frac{1}{a}}-\frac{15}{4}}\)
A\(\ge\sqrt{17}\)
Dấu = x ra a=b=0.5
2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1)
AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y
=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8
minB=8
Câu 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)
\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)
Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)
Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)
\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)
Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)
\(P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1+x^2y^2}{xy}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)\(=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=\sqrt{17}.\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}.\)
Ta co:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(1+\frac{9}{x+y+z}\right)^2}{3}=\frac{100}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vay \(A_{min}=\frac{100}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng 2 bđt sau \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\end{cases}}\)(tự chứng minh nhé)
\(A=\left(\frac{1}{x}+x\right)^2+\left(\frac{1}{y}+y\right)^2\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{4}{x+y}+1\right)^2}{2}=\frac{\left(4+1\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" tại x = y = 1/2
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
\(A=x+y+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=x+\frac{1}{4x}+y+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(A\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+2\sqrt{\frac{y}{4y}}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=2+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz dạng Engel: \(A\ge2+\frac{1}{4}.\frac{4}{x+y}\ge3\) (Do \(x+y\le1\))
Vậy Min A = 3. Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2