Question

[Minh Thư]

1.Cmr với mọi n là stn ta có 3n\(^2\) + 3n \(⋮\) 6

2. Cmr tích 4 stn liên tiếp thì chia hết cho 24

3. Cmr tích của 5 stn liên tiếp thì chia hết cho 120

Answer 1

[Phùng Tuệ Minh]

1) Ta có: 3n²+3n

= 3(n²+n) \(⋮\) 3

Vì n là STN nên:

TH1: n là số tự nhiên lẻ.

\(\Rightarrow\)n² sẽ lẻ \(\Rightarrow\) n²+n bằng lẻ cộng lẻ và bằng chẵn \(\Rightarrow\) n²+n \(⋮\) 2 \(\Rightarrow\) 3(n²+n) \(⋮\) 2

\(\Rightarrow\) 3n²+3n \(⋮\) 2

Vì 3n²+3n chia hết cho 3 và cũng chia hết cho 2 nên số đó chia hết cho 6.

TH2: n là số tự nhiên chẵn.

\(\Rightarrow\) n² sẽ chẵn \(\Rightarrow\) n²+n bằng chẵn cộng chẵn bằng chẵn \(\Rightarrow\) n²+n \(⋮\) 2\(\Rightarrow\)

3(n²+n) \(⋮\) 2\(\Leftrightarrow\) 3n²+3n \(⋮\) 2

Vì 3n²+3n chia hết cho 3 và chia hết cho 2 nên số đó chia hết cho 6.

Vậy với mọi trường hợp số tự nhiên thì 2n²+3n đều chia hết cho 6. Vậy với mọi n là số tự nhiên thì 2n²+3n sẽ chia hết cho 6 (đpcm)

Answer 2

[Tanh Trần]

3)

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là k; k+1; k+2; k+3; k+4

$\Rightarrow$Tích của chúng là k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp. Mà tích 2 số chẵn liên tiếp $⋮$8$\Rightarrow$k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$⋮8$(1)

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số $⋮5$$\Rightarrow$k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$⋮5$                                                                 (2)

Trong tích 5 số tự nhiên liên tiếp có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp$⋮3\Rightarrow$k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$⋮3$                                                                                                                                                                                           (3)

Từ (1),(2),(3) và ƯCLN(3;5;8)=1$\Rightarrow$k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$⋮\mathrm{3.5.8}$=120

Vậy tích của 5 số tự nhiên liên tiếp $⋮120$