Question

[Bùi Thị Ái Nhi]

1cho tứ giác ABCD có 2 đương chéo vuông góc với nhau tại trung điểm O của chúng.CM

a/ tam giác ABC= tam giác ADC

b/ tính các góc của tứ giác ABCD biet rằng Góc ABO= 2BAO VÁ Góc C = 60⁰

2.  cho tu giac ABCD co diem O ở trong tứ giác gọi  chu vi là 2p. CMR p<OA+OB+OC+OD<3p

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

A B C D O 1 2 3 4

Có : \(AB< OA+OB;BC< OB+OC;CD< OC+OD;DA< OD+OA\)

\(P_{ABCD}=2p=AB+BC+CD+DA< 2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(p< OA+OB+OC+OD\)

Lại có : \(OA< AB-OB;OB< BC-OC;OC< CD-OD;OD< DA-OA\)

Cộng vế theo vế từng bđt trên ta được : 

\(OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+DA-\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< AB+BC+CD+DA\) (*) 

Có tiếp -,- : 

\(OA< AB+OB;OA< DA+OD\)\(\Rightarrow\)\(2OA< AB+DA+OB+OD\)

\(OB< AB+OA;OB< BC+OC\)\(\Rightarrow\)\(2OB< AB+BC+OA+OC\)

\(OC< BC+OB;OC< CD+OD\)\(\Rightarrow\)\(2OC< BC+CD+OB+OD\)

\(OD< CD+OC;OD< DA+OA\)\(\Rightarrow\)\(2OD< CD+DA+OC+OA\)

\(\Rightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)+2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)+\left(AB+BC+CD+DA\right)\) ( kết hợp với (*) ) 

\(\Rightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< 3\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(OA+OB+OC+OD< 3.\frac{AB+BC+CD+DA}{2}=3.\frac{2p}{2}=3p\)

Vậy \(p< OA+OB+OC+OD< 3p\)