Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
\(VT=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
\(=2+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\)
Bài toán trở thành \(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\ge\frac{x+y+z}{3\sqrt{xyz}}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{xyz}}=\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Tương tự:
\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\ge\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{x}\ge\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow VT+3\ge3+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Is it true?
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1