Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...
Ta có: \(A=2013-xy\Leftrightarrow y=\frac{2013-A}{x}\)
Đặt \(2013-A=B\)thì ta có \(y=\frac{B}{x}\)(1)
Theo đề bài có
\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{B^2}{4x^2}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+B^2+1=0\)
Để PT có nghiệm (theo biến x2) thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow5^2-20\left(B^2+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B^2\le0,25\Leftrightarrow-0,5\le B\le0,5\)
\(\Leftrightarrow-0,5\le2013-A\le0,5\)
\(\Leftrightarrow2012,5\le A\le2013,5\)
Đạt GTLN khi \(\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},-1;-\frac{1}{2},1\right)\)
Đạt GTNN khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2},1;-\frac{1}{2},-1\right)\)
- \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)
\(=16x^2y^2-2xy+12\)
Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)
Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)
- Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)
Mình sẽ hướng dẫn các bạn các cách khác nhau cho bài này!!!
gt \(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2x}{y}}\left(2xy-1\right)=2xy+1\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2x}{y}}\left(2x-\frac{1}{y}\right)=2x+\frac{1}{y}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2x}{y}\left(2x-\frac{1}{y}\right)^2=\left(2x+\frac{1}{y}\right)^2\) (1)
Cách 1: Đặt \(2x+\frac{1}{y}=a\) và \(2x-\frac{1}{y}=b\) nên (1)\(\Leftrightarrow\) \(\frac{2x}{y}b^2=a^2\)mà \(a^2-b^2=\frac{8x}{y}\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2-b^2}{4}=\frac{2x}{y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2-b^2}{4}b^2=a^2\Leftrightarrow4a^2=\left(a^2-b^2\right)b^2\Leftrightarrow b^4-a^2b^2+4a^2=0\)
Coi là phương trình bậc hai ẩn b2 ta có: \(\Delta=a^4-16a^2=a^2\left(a-4\right)\left(a+4\right)\)để a,b tồn tại thì
\(\Delta\ge0\Leftrightarrow a\ge4\) vì a dương
x + y = 1 => y = 1 - x mà x,y dương => 0 < x < 1
Suy ra : \(A=2x^2-\left(1-x\right)^2+x+\frac{1}{x}+1=2x^2-1+2x-x^2+x+\frac{1}{x}+1\)
\(=x^2+3x+\frac{1}{x}=x^2-x+\frac{1}{4}+4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\)
Mà \(4x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}=2.2=4\). Dấu "=" xảy ra <=> 4x = 1/x <=> x = 1/2
Với x = 1/2 thì ( x - 1/2 )2 cũng đạt GTNN là 0 => y = 1 - a = 1/2
Vậy min\(A=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)<=> x = y = 1/2
Cách giải như sau
x + y = 1 => y = 1 - x mà x,y dương => 0 < x < 1
Suy ra : A=2x2−(1−x)2+x+1x +1=2x2−1+2x−x2+x+1x +1
=x2+3x+1x =x2−x+14 +4x+1x +14
=(x−12 )2+4x+1x +14
Mà 4x+1x ≥2√4x.1x =2.2=4. Dấu "=" xảy ra <=> 4x = 1/x <=> x = 1/2
Với x = 1/2 thì ( x - 1/2 )2 cũng đạt GTNN là 0 => y = 1 - a = 1/2
Vậy minA=4+14 =174 <=> x = y = 1/2
HOK TỐT
\(M=\frac{4}{x}+y=1\left(\frac{4}{x}+y\right)\ge\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{4}{x}+y\right)\)
\(=4+xy+\frac{4}{xy}+1\ge4+2\sqrt{xy.\frac{4}{xy}}+1=4+2\sqrt{4}+1=9\)
Nên GTNN của M là 9 khi \(x=\frac{2}{3};y=3\)
TK:
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn x + y + 2xy = \(\dfrac{15}{2}\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y - Hoc24