Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
1.
Điều kiện .
Phương trình tương đương với \\
Với ta có:
.
Suy ra .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
Đặt
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta có
.
Tương tự , .
Cộng các vế ta có .
Mà nên (ta có đpcm).
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\) với x, y, z > 0 thì ta có \(x+y+z=1\).
Đặt biểu thức ở VT là A. Ta có:
\(A=\sqrt{\dfrac{b^2+2a^2}{a^2b^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+2b^2}{b^2c^2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+2c^2}{c^2a^2}}=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\).
Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{a_3^2+a_4^2}\ge\sqrt{\left(a_1+a_3\right)^2+\left(a_2+a_4\right)^2}\).
Đây là bđt Mincopxki cho hai bộ số thực và dễ dàng cm bằng biến đổi tương đương.
Do đó \(A\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z\right)^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z+\sqrt{2}x\right)^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}=VP\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3.
Vậy...
Tương tự: \(GT\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
\(VT=\dfrac{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{b^2+b^2+c^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{c^2+a^2+a^2}}{ca}\)
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(a+a+b\right)^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+b+c\right)^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(c+c+a\right)^2}}{ca}\)
\(VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\); \(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{b^2+a^2+a^2}}{ab}\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+a+a\right)^2}}{ab}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\) ; \(\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1980\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{3}{1980}\)
TK: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b+ c = 3. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{... - Hoc24
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a-\dfrac{a^2}{a+b^2}=\dfrac{ab^2}{a+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{b\sqrt{a}}{2}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:
\(b-\dfrac{b^2}{b+c^2}\le\dfrac{c\sqrt{b}}{2};c-\dfrac{c^2}{c+a^2}\le\dfrac{a\sqrt{c}}{2}\)
Sau đó cộng theo vế các BĐT trên
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge3-\dfrac{1}{2}\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)\)
\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{3a^2+2b^2+2c^2-a^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại ta có:
\(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2};\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
1)
ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{4}\)
PT \(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+2x+2}-\sqrt{4x-1}+2x^2+3x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^2+2x+2}-2\right)-\left(\sqrt{4x-1}-1\right)+2x^2+3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^2+2x+2-4}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{4x-1-1}{\sqrt{4x-1}+1}+\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^2+2x-2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1}+\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{2\left(2x-1\right)}{\sqrt{4x-1}+1}+\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(\dfrac{2x+2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}+x+2\right)=0\)
Mà \(\dfrac{2x+2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}>0\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}< 2\Leftrightarrow-\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}>-2\)
\(x+2>2\)
=> \(\dfrac{2x+2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}+x+2>0\)
\(\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(TM\right)\)
KL: Vậy PT có nghiệm \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)
2)
BĐT \(\Leftrightarrow\left[\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b+2c}{9}.a\right]+\left[\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c+2a}{9}.b\right]+\left[\dfrac{c^3}{a+2b}+\dfrac{a+2b}{9}.c\right]-\dfrac{1}{3}.\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm:
\(\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b+2c}{9}.a\ge2.\sqrt{\dfrac{a^3}{b+2c}.\dfrac{b+2c}{9}.a}=\dfrac{2a^2}{3}\)
Tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c+2a}{9}.b\ge\dfrac{2b^2}{3}\\\dfrac{c^3}{a+2b}+\dfrac{a+2b}{9}.c\ge\dfrac{2c^2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(VT\ge\dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-1\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=3\)
\(\Rightarrow VT\ge1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(LHS\ge\sum_{cyc}\dfrac{a^4}{ab+2ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{3}=\dfrac{3}{3}=1\)Vậy ta có điều phải chứng minh