Question

[Nguyễn Hoàng Minh]

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: \(y^2+2xy-3x-2=0\)
2. Cho \(x>1;y>0\), chứng minh: \(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)

Answer 1

[Akai Haruma]

1. 

PT $\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)(x+2)$

Với $x\in\mathbb{Z}$ dễ thấy rằng $(x+1,x+2)=1$. Do đó để tích của chúng là scp thì $x+1,x+2$ cũng là những scp.

Đặt $x+1=a^2, x+2=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow b^2-a^2=1\Leftrightarrow (b-a)(b+a)=1$

Với $a,b\in\mathbb{N}$ dễ thấy $b-a=b+a=1$

$\Rightarrow b=1; a=0$

$\Rightarrow x=-1$

$(x+y)^2=(x+1)(x+2)=0\Rightarrow y=-x=1$
Vậy $(x,y)=(-1,1)$

Answer 2

[Akai Haruma]

2.

Đặt $x-1=a$ thì bài toán trở thành:

Cho $a,y>0$. CMR:

$\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}\geq 3(\frac{1-2a}{a}+\frac{a+1}{y})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{y}+\frac{3}{y}$
BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì:

$\frac{1}{a^3}+1+1\geq \frac{3}{a}$
$\frac{1}{y^3}+1+1\geq \frac{3}{y}$

$\frac{a^3}{y^3}+1+1\geq \frac{3a}{y}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=y=1$

$\Leftrightarrow x=2; y=1$