Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét phương trình trên có:
\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+4\right)=m^2-4m+4-m^2+2m-4=-2m\)
Để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)điều kiện là:
\(\Delta'>0\Leftrightarrow-2m>0\Leftrightarrow m< 0\)
Với m<0. Áp dụng định lí Vi ét ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2-2m+4\end{cases}}\)
=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=4\left(m-2\right)^2-2\left(m^2-2m+4\right)=2m^2-12m+8\)
Ta có:
\(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)
<=> \(\frac{2}{2m^2-12m+8}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)(điều kiện: \(2m^2-12m+8\ne0\))
<=> \(\frac{1}{m^2+4-6m}-\frac{1}{m^2+4-2m}=\frac{1}{15m}\)
<=> \(\frac{4m}{\left(m^2+4-6m\right)\left(m^2+4-2m\right)}=\frac{1}{15m}\)
<=> \(60m^2=\left(m^2+4\right)^2-8m\left(m^2+4\right)+12m^2\)
<=> \(\left(m^2+4\right)^2-8m\left(m^2+4\right)-48m^2=0\)
<=> \(\left(\frac{m^2+4}{m}\right)^2-8\frac{m^2+4}{m}-48=0\)
Đặt t=\(\frac{m^2+4}{m}< 0\)
Ta có phương trình ẩn t:
\(t^2-8t-48=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\\t=12\left(loai\right)\end{cases}}\)
Với t=-4 ta có:
\(\frac{m^2+4}{m}=-4\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)( tmđk)
vậy m=-2
Câu 1:
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=u>0\\\frac{1}{\sqrt{y-2}}=v>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4u+3v=5\\u-2v=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4u+3v=5\\4u-8v=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4u+3v=5\\11v=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v=-\frac{1}{11}< 0\) (loại)
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Câu 2:
\(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\) \(\forall m\)
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1+2x_2=-2m-4\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2x_1+2x_2+x_1x_2=-4\)
Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
a. thay m=-4 vào (1) ta có:
\(x^2-5x-6=0\)
Δ=b\(^2\)-4ac= (-5)\(^2\) - 4.1.(-6)= 25 + 24= 49 > 0
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7\)
x\(_1\)=\(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+7}{2}\)=6
x\(_2\)=\(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-7}{2}\)=-1
vậy khi x=-4 thì pt đã cho có 2 nghiệm x\(_1\)=6; x\(_2\)=-1
Bài 2:
a)Ta có: \({\left( {x + 2y} \right)^2} \le \left( {1 + 1} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \sqrt {\dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{2} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)Mặt khác ta cũng có:
\( \dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3} = \dfrac{{3{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \dfrac{{\left| {x + 2y} \right|}}{2} \)
Từ đó suy ra: \(\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}} + \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} \ge \left| {x + 2y} \right| \ge x + 2y \)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2y\ge0\)
Thay vào phương trình còn lại ta thu được:
\({x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 3x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right) \)
\(\boxed{Nguyễn Thành Trương}\)
Bài 1: a liên hợp là ra mà nhỉ?
a) ĐK: \(x>-3\)
Mặt khác \(PT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x+3}}-2+\sqrt{\frac{5}{x+4}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{x+3}-4}{\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2}+\frac{\frac{5}{x+4}-4}{\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-\left(x+\frac{11}{4}\right)}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}=0\) (quy đồng cái tử lên thôi)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{11}{4}\right)\left[\frac{-1}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x+3}}+2\right)}+\frac{-1}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{\frac{5}{x+4}}+2\right)}\right]=0\)
Cái ngoặc to nhìn liếc qua cũng thấy nó < 0.
Do đó \(x=-\frac{11}{4}\)
P/s: Về cơ bản hướng làm là vậy, khi là sẽ có thể có những sai sót, do em bị hư máy tính cầm tay:v. Đang rất GP đây này@@
| \(\text{~tth~}\) |
dùng đen ta phẩy để giải pt.
kết quả khi m > \(\frac{5}{6}\)thì pt có nghiệm
theo vi-ét ta có: x1 + x2 = \(\frac{-b}{a}=\frac{2\left(m-2\right)}{1}=2\left(m-2\right)\)(1)
x1 . x2 = \(\frac{c}{a}=\frac{m^2+2m-3}{1}=m^2+2m-3\)(2)
theo đầu bài ta có: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)
<=> \(\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)(3)
thay (1) và (2) vào (3) r tính m. kết quả khi m=2 thì pt có nghiệm thỏ mãn đk đó.
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\)
<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)
<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)
Vì (2m+3)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.
Theo viét:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
Theo đề:
\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))
=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)
=> \(M\ge2\).
Dấu "=" xảy ra khi m = 0
Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:
\(x^2-5x+1=0\)
Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.
Vậy min M = 2 và m = 0
☕T.Lam
a/ ĐKXĐ: \(x\ge1\)
\(x^2-2x+1+2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}+x-1=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}+x-1=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1+\sqrt{x-1}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x-1}=2\) (do \(x-1+\sqrt{x-1}\ge0\) \(\forall x\ge1\))
\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x-1}-2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{x-1}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)
b/ ĐKXĐ: \(x;y;z\ge0\)
Nhận thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của pt đã cho
Với \(x;y;z\ne0\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{y}=\frac{4x}{4x+1}\le\frac{4x}{2\sqrt{4x}}=\sqrt{x}\Rightarrow y\le x\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}4x=1\\4y=1\\4z=1\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)
2/ \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+4\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-2m>0\Rightarrow m< 0\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4-2m\\x_1x_2=m^2-2m+4\end{matrix}\right.\)
\(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2m^2-12m+8}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)
\(\Leftrightarrow\frac{m}{m^2-6m+4}-\frac{m}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15}\)
Do \(m< 0\), chia cả tử và mẫu của các hạng tử vế trái cho m ta được:
\(\frac{1}{m+\frac{4}{m}-6}-\frac{1}{m+\frac{4}{m}-2}=\frac{1}{15}\)
Đặt \(m+\frac{4}{m}-6=a\Rightarrow m+\frac{4}{m}-2=a+4\) phương trình trở thành:
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+4}=\frac{1}{15}\Leftrightarrow15\left(a+4\right)-15a=a\left(a+4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a-60=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=6\\a=-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+\frac{4}{m}-6=6\\m+\frac{4}{m}-6=-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2-12m+4=0\\m^2+4m+4=0\end{matrix}\right.\)