Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) n là số nguyên tố > 5
=> n có dạng 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4
Có: ( 5k + 1)^4 và 1^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 2 )^4 và 2^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 3 )^4 và 3^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 4 )^4 và 4^4 có cùng số dư khi chia cho 5
mà 1^4 - 1; 2^4-1; 3^4-1 ; 4^4 - 1 chia hết cho 5
=> n^4 - 1 chia hết cho 5 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (1)
+) n^4 - 1 = ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 ) = ( n - 1 ) ( n + 1 ) (n^2 + 1 )
n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n là số lẻ => ( n - 1) ( n + 1 ) chia hết cho 8 ; n^2 + 1 chia hết cho 2
=> n^4 - 1 chia hết cho 16 (2)
+) n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n có dạng 6k + 1; 6k + 5
Nếu n = 6k + 1 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) = 6k ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Nếu n = 6k + 5 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( 6k + 6 ) ( n^2 + 1 ) = 6 ( n - 1 ) ( k + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Vậy n^4 - 1 chia hết cho 3 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (3)
Từ (1); (2); (3) và 5; 16; 3 đôi 1 nguyên tố cùng nhau
=> n^4 - 1 chia hết cho tích 5.16.3
=> n^4 - 1 chia hết cho 240
Đặt \(ƯC\left(3n^2+3n+4;n^2+n+1\right)=d\)
\(\Rightarrow3n^2+3n+4⋮d,n^2+n+1⋮d\)
\(\Rightarrow3n^2+3n+4-3\left(n^2+n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3n^2+3n+4-3n^2-3n-3⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy với \(n\inℕ\) thì \(3n^2+3n+4\) và \(n^2+n+1\) nguyên tố cùng nhau.
Ta có: \(n^3-n^2+n-1\)
\(=n^2\left(n-1\right)+\left(n-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)
Ta thấy \(n-1< n^2+1\) nên điều kiện cần để số trên là nguyên tố là: \(n-1=1\Rightarrow n=2\)
\(\Rightarrow n^3-n^2+n-1=5\) thỏa mãn
G/S ngược lại \(n-1\ne1\) thì \(n^2+1\ne1\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\) không là số nguyên tố (vô lý)
Vậy n = 2
Với n = 2
=> n3 - n2 + n - 1 = 5 (tm)
Với n > 2
=> \(\orbr{\begin{cases}n=2k+1\\n=2k\end{cases}}\left(k\inℕ^∗\right)\)
Với n = 2k + 1 khi đó : n3 - n2 + n - 1
= (n3 - n2) + (n - 1)
= n2(n - 1) + (n - 1)
= (n - 1)(n2 + 1)
= (2k + 1 - 1)[(2k + 1)2 + 1]
= 2k[(2k + 1)2 + 1] \(⋮\)2 (loại)
Với n = 2k
=> n3 - n2 + n - 1
= (n - 1)(n2 + 1)
= (2k - 1)[(2k)2 + 1]
= (2k - 1)(4k + 1) \(⋮2k-1\)(loại)
=> n = 2 là giá trị cần tìm
1,
Đặt A = n3 - n2 + n - 1
Ta có A = n2(n - 1) + (n - 1) = (n - 1)(n2 + 1)
Vì A nguyên tố nên A chỉ có 2 Ư. Ư thứ 1 là 1 còn Ư thứ 2 nguyên tố nên ta suy ra 2 trường hợp :
TH1 : n - 1 = 1 và n2 + 1 nguyên tố
⇒
n = 2 và n2 + 1 = 5 nguyên tố (thỏa)
TH2 : n2 + 1 = 1 và n - 1 nguyên tố
⇒
n = 0 và n - 1 = - 1( ko thỏa)
Vậy n = 2
2 ,
Xột số A = (2n – 1)2n(2n + 1)
A là tích của 3 số tự nhiên liờn tiệp nên A ⋮ 3
Mặt khỏc 2n – 1 là số nguyên tố ( theo giả thiết )
2n không chia hết cho 3
Vậy 2n + 1 phải chia hết cho 3 ⇒ 2n + 1 là hợp số.
Bạn xem lời giải chi tiết ở đường link dưới nhé:
Câu hỏi của Bùi Nguyễn Việt Anh - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath