Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại
Với pt sau:
Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
Với \(x;y;z\ne0\)
Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)
b) Áp dụng bđt Svac-xơ:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)
=> hpt vô nghiệm
c) Ở đây x,y,z là các số thực dương
Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)
\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)
Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)
Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)
Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)
<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2
<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2
<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2
<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)
+) Khi xy + yz + zx = -xyz
=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)
=> xy + yz + zx = xyz
<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Khi x = -y => y = 1 => P = 1
Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1
Vậy P = 1
1. Với mọi số thực x;y;z ta có:
\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
1.1
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt đầu:
\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))
\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)
\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)
2.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu
...
Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:
$x^3=x^2+x+2$
$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$
$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$
$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$
$x,y,z$ có thêm điều kiện nguyên/ nguyên dương gì không bạn?
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2}{x}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{4}{7}\right)\)