Question

[Nguyễn Đức An]

Answer 1

[Lê Song Phương]

 Từ đề bài, ta thấy \(n\ge10\)

 Với \(n=10\), xét khai triển \(R\left(n\right)=\left(3+x\right)^n\) \(\Rightarrow R\left(10\right)=\left(3+x\right)^{10}\) \(\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}3^{10-k}x^k\). Hệ số của số hạng chứa \(x^k\) là \(a_k=C^k_{10}.3^{10-k}\). Theo ycbt thì \(a_{10}\) là hệ số lớn nhất trong các \(a_i\left(i=\overline{0,10}\right)\) nên \(C^{10}_{10}.3^{10-10}=1\) là hệ số lớn nhất trong các hệ số. Nhưng \(a_5=C^5_{10}.3^5=61236>a_{10}\), mâu thuẫn.

 Với \(n\ge11\), xét khai triển \(R\left(n\right)=\left(3+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^k_n.3^{n-k}.x^k\). Hệ số của số hạng chứa \(x^k\) là \(a_k=C^k_n.3^{n-k}\). Do \(a_{10}\) là hệ số lớn nhất trong các số \(a_i\left(i=\overline{0,n}\right)\)nên \(\left\{{}\begin{matrix}a_{10}\ge a_9\\a_{10}\ge a_{11}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}C^{10}_n.3^{n-10}\ge C^9_n.3^{n-9}\\C^{10}_n.3^{n-10}\ge C^{11}_n.3^{n-11}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{n!}{10!\left(n-10\right)!}\ge\dfrac{n!}{9!\left(n-9\right)!}.3\\\dfrac{n!}{10!\left(n-10\right)!}.3\ge\dfrac{n!}{11!\left(n-11\right)!}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{3}{n-9}\\\dfrac{3}{n-10}\ge\dfrac{1}{11}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\ge39\\n\le43\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow39\le n\le43\)  (*)

 (Ở đây mình chỉ so sánh hệ số \(a_{10}\) với \(a_9\) và \(a_{11}\) vì có xét với các \(a_i\) khác thì nó sẽ ra bất đẳng thức rộng hơn (*) nên mình quy về suy ra (*) luôn.)

 Tổng các n là \(39+40+41+42+43=205\)

Answer 2

[Lê Song Phương]

Mình còn thiếu \(n\in\left\{39;40;41;42;43\right\}\)