Cho x,y,z là các số dương thoả mãn (x+y) (y+z) (z+x) = 8xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TL
1
BT
1 tháng 9 2016
Lần lượt áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx}.\)
Suy ra: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz.\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
NT
0
S
2 tháng 7 2021
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)
Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)
AM
29 tháng 6 2015
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)
Dấu"=" xảy ra <=>x=y y=z z=x=>x=y=z
=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=8xyz\Leftrightarrow x=y=z\)(ĐPCM)
KY
19 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\Rightarrow x+z\ge2\sqrt{xz}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)(Vì x,y,z > 0)
TT
Thầy Tùng Dương
VIP
11 tháng 10 2018
bạn tham khảo ở đây: Câu hỏi của Nguyễn Phương Linh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
DH
0
BV
1
LK
29 tháng 10 2018
(x + y)(y + z)(x + z) = 8xyz
⇒ (xy + xz + y2 + yz)(x + z) - 8xyz = 0
⇒ x2y + xyz + x2z + xz2 + y2x + y2z + xyz + yz2 - 8xyz = 0
⇒ x2y - 2xyz + yz2 + xy2 - 2xyz + xz2 + x2z - 2xyz + y2z = 0
⇒ y(x - z)2 + x(y - z)2 + z(x - y)2 = 0
mà x, y, z > 0 (gt)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-z\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(x-y\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x-z=0\\y-z=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=z\\y=z\\x=y\end{matrix}\right.\)
⇒ x = y = z
26 tháng 10 2020
Vì x,y,z là các số nguyên dương
nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(1)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(2)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta có :
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}=8\sqrt{xy\cdot yz\cdot zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8\left|xyz\right|=8xyz\)
( do x,y,z là các số nguyên dương )
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
=> đpcm
3 tháng 6 2018
áp dụng BĐT AM-GM
ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z\left(ĐPCM\right)}\)
S
8 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số x,y,z dương ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx}\)
Nhân các BĐT vế theo vế ta được:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
<=> x-y=y-z=z-x=0
<=>(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0
<=>x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+z2-2zx+x2=0
<=>2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
<=>x2+y2+z2-xy-yz-zx=0
<=>(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0 (vì x,y,z>0 nên x+y+z>0)
<=>x3+y3+z3-3xyz=0
<=>x3+y3+z3=3xyz (đpcm)