Question

[Uchiha Sasuke 1st]

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn 

(x+y)×(y+z)×(z+x)=8xyz

Chứng minh rằng x^3+y^3+z^3=3xyz3xyz

Đang cần gấp

Answer 1

[ST]

Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số x,y,z dương ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx}\)

Nhân các BĐT vế theo vế ta được:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

<=> x-y=y-z=z-x=0

<=>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0

<=>x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+z²-2zx+x²=0

<=>2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0

<=>x²+y²+z²-xy-yz-zx=0

<=>(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=0 (vì x,y,z>0 nên x+y+z>0)

<=>x³+y³+z³-3xyz=0

<=>x³+y³+z³=3xyz (đpcm)