cho đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm c và d (d không đi qua tâm O ) lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho C nằm giữa M và D,kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn O ( A và B là tiếp điểm ).Gọi E là trung điểm của CD.Chứng minh tứ giác AOEB nội tiếp
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 3 2023
Dễ thấy tứ giác OAMB nội tiếp (1) (do có \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\))
Xét đường tròn (O), có I là trung điểm của dây cung CD \(\Rightarrow OI\perp CD\) tại I hay \(\widehat{OEM}=90^o\)
Từ đó suy ra tứ giác OEMB nội tiếp (2) (\(\widehat{OEM}=\widehat{OBM}=90^o\))
Từ (1) và (2), suy ra 5 điểm O,A,B,M,E cùng nằm trên 1 đường tròn \(\Rightarrow\)Tứ giác AOEB nội tiếp.
11 tháng 7 2023
a: góc OAM+góc OBM=180 độ
=>OAMB nội tiếp
b: Xét ΔMAC và ΔMDA có
góc MAC=góc MDA
góc AMC chung
=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA
=>MA/MD=MC/MA
=>MA^2=MD*MC
8 tháng 3 2023
1: ΔOAB cân tại O
mà OI là trung tuyến
nên OI vuông góc AB
góc OIM=góc OCM=góc ODM=90 độ
=>O,I,M,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính OM
góc DIM=góc MOD
góc CIM=góc COM
mà góc COM=góc DOM
nên góc DIM=góc CIM
=>IM là phân giác của góc CID
AT
15 tháng 7 2021
a) Trong (O) có AB là dây cung không đi qua O và I là trung điểm AB
\(\Rightarrow OI\bot AB\Rightarrow\angle MIO=90\Rightarrow\angle MIO+\angle MCO=90+90=180\)
\(\Rightarrow MIOC\) nội tiếp
b) Vì MC,MD là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta MCD\) cân tại M có MO là phân giác \(\angle CMD\) \(\Rightarrow MO\bot CD\) mà \(EF\parallel CD\) \(\Rightarrow EF\bot MO\)
tam giác MOE vuông tại O có đường cao OC \(\Rightarrow CM.CE=OC^2\)
tam giác MOC vuông tại C có đường cao HC \(\Rightarrow OH.OM=OC^2\)
\(\Rightarrow OH.OM=CM.CE\)
Vì H là trung điểm CD (\(\Delta MCD\) cân tại M) và \(EF\parallel CD\)
\(\Rightarrow O\) là trung điểm EF
\(\Rightarrow S_{MEF}=2S_{MOE}=2.\dfrac{1}{2}.OC.ME=OC.\left(CM+CE\right)\)
\(\ge R.\sqrt{CM.CE}=R.2\sqrt{OC^2}=R.2OC=2R^2\)
\(\Rightarrow S_{MEF_{min}}=2R^2\) khi \(CM=CE=R\left(CM.CE=R^2\right)\)
\(\Rightarrow OM=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)
Vậy M nằm trên d sao cho \(OM=\sqrt{2}R\) thì diện tích tam giác MEF nhỏ nhất \(\left(=2R^2\right)\)
6 tháng 12 2023
a: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
=>MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b; Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB
CM
16 tháng 6 2018
d) Ta có:
K là trung điểm của CE (E đối xứng với C qua AB)
K là trung điểm của AB
AB ⊥ CE (MO ⊥ AB)
⇒ Tứ giác AEBC là hình thoi
⇒ BE // AC
Mà AC ⊥ AD (A thuộc đường tròn đường kính CD)
Nên BE ⊥ AD và DK ⊥ AB
Vậy E là trực tâm của tam giác ADB
26 tháng 11 2023
a: O là trung điểm của AB
=>\(OA=OB=\dfrac{AB}{2}=4,8\left(cm\right)\)
ΔOBD vuông tại B
=>\(OD^2=OB^2+BD^2\)
=>\(OD^2=4,8^2+6,4^2=64\)
=>OD=8(cm)
Xét ΔDON vuông tại O có OB là đường cao
nên \(OB^2=BN\cdot BD\)
=>\(BN\cdot6,4=4,8^2\)
=>BN=3,6(cm)
DN=DB+BN
=3,6+6,4
=10(cm)
Xét ΔODN vuông tại O có \(DN^2=OD^2+ON^2\)
=>\(ON^2+8^2=10^2\)
=>\(ON^2=36\)
=>ON=6(cm)
b: Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
Do đó; OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
\(\widehat{MOB}+\widehat{MOA}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\widehat{MOD}+\widehat{MOA}=2\cdot90^0\)
=>\(\widehat{MOA}=2\cdot90^0-2\cdot\widehat{MOD}=2\left(90^0-\widehat{MOD}\right)=2\cdot\widehat{COM}\)
=>OC là phân giác của góc MOA
Xét ΔCAO và ΔCMO có
OA=OM
\(\widehat{COA}=\widehat{COM}\)
OC chung
Do đó: ΔCAO=ΔCMO
=>\(\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^0\)
=>AC\(\perp\)AB
mà BD\(\perp\)AB
nên BD//AC
Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBN vuông tại B có
OA=OB
\(\widehat{AOC}=\widehat{BON}\)
Do đó: ΔOAC=ΔOBN
=>OC=ON
=>O là trung điểm của CN
Xét ΔDCN có
DO là đường cao
DO là đường trung tuyến
Do đó;ΔDCN cân tại D
=>DC=DN
c: Vì \(\widehat{CAO}=90^0\) và OA là bán kính của (O)
nên CA là tiếp tuyến của (O)