Cho x>1 , y>1 .CMR 1/1+x^2 + 1/ 1+y^2 > 2/1+xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JG
0
LM
2
7 tháng 10 2016
Ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\ge\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge\frac{1+y^2-1-xy}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge\frac{y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}\left(\frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}.\frac{x+y^2x-y-yx^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}.\frac{\left(y-x\right)\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y > 1)
Vậy ta có đpcm
TL
0
15 tháng 6 2018
Bài 1. Ta có : \(xy+\dfrac{1}{xy}=16xy-15xy+\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(x+y\) ≥ \(2\sqrt{xy}\)
⇔ \(\left(x+y\right)^2\) ≥ \(4xy\)
⇔ \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\) ≥ xy
⇔ - 15xy ≥ \(\dfrac{1}{4}.\left(-15\right)=\dfrac{-15}{4}\)
CMTT , \(16xy+\dfrac{1}{xy}\) ≥ \(2\sqrt{16xy.\dfrac{1}{xy}}=2.\sqrt{16}=8\)
⇒ \(16xy+\dfrac{1}{xy}\) - 15xy ≥ \(8-\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)