LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
JG
0
LM
2
7 tháng 10 2016
Ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\ge\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge\frac{1+y^2-1-xy}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge\frac{y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}\left(\frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}.\frac{x+y^2x-y-yx^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}.\frac{\left(y-x\right)\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y > 1)
Vậy ta có đpcm
15 tháng 6 2018
Bài 1. Ta có : \(xy+\dfrac{1}{xy}=16xy-15xy+\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(x+y\) ≥ \(2\sqrt{xy}\)
⇔ \(\left(x+y\right)^2\) ≥ \(4xy\)
⇔ \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\) ≥ xy
⇔ - 15xy ≥ \(\dfrac{1}{4}.\left(-15\right)=\dfrac{-15}{4}\)
CMTT , \(16xy+\dfrac{1}{xy}\) ≥ \(2\sqrt{16xy.\dfrac{1}{xy}}=2.\sqrt{16}=8\)
⇒ \(16xy+\dfrac{1}{xy}\) - 15xy ≥ \(8-\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
2 tháng 6 2017
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
DD
3 tháng 6 2017
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?