Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn \(x\left(1+x+x^2\right)=4y\left(y-1\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
16 tháng 5 2021
\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)
Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm.
17 tháng 8 2023
\(x^2-25=y\left(y+6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-25=y^2+6y\)
\(\Leftrightarrow x^2-25-y^2-6y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y^2+6y+9\right)-16=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+3\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-3\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right);\left(x-y-3\right)\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-8;8;-16;16\right\}\)
Ta giải các hệ phương trình sau :
1) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-1\\x-y-3=-16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\x-y=-15\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-11\left(loại\right)\\x-y=-15\end{matrix}\right.\)
2) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=1\\x-y-3=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-2\\x-y=19\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=17\left(loại\right)\\x-y=19\end{matrix}\right.\)
3) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=2\\x-y-3=8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\x-y=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=10\\x-y=11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-6\end{matrix}\right.\)
4) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-2\\x-y-3=-8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-5\\x-y=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-10\\x-y=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)
5) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-4\\x-y-3=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-7\\x-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-6\\x-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-2\end{matrix}\right.\)
6) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=4\\x-y-3=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=8\\x-y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-3\end{matrix}\right.\)
7) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-8\\x-y-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-11\\x-y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-10\\x-y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=-6\end{matrix}\right.\)
8) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=8\\x-y-3=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\x-y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=10\\x-y=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=0\end{matrix}\right.\)
9) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=-16\\x-y-3=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-19\\x-y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-17\left(loại\right)\\x-y=2\end{matrix}\right.\)
10) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=16\\x-y-3=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=15\\x-y=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=19\left(loại\right)\\x-y=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(5;-6\right);\left(-5;0\right);\left(-3;-2\right);\left(4;-3\right);\left(-5;-6\right);\left(5;0\right)\right\}\)
30 tháng 10 2019
Nguyễn Linh Chi : cô làm cách đó là thiếu nghiệm rồi cô
\(\left(x^2+1\right)\left(x^2+y^2\right)=4x^2y\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^2+x^2y^2+y^2-4x^2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y+y^2\right)+\left(x^2-2x^2y+x^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2+\left(x\left(y-1\right)\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y=x\left(y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-y-xy+x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-1\end{cases}}\)
+) x = -1 suy ra y = 1
+) x = y . từ đó tìm được \(\orbr{\begin{cases}x=y=0\\x=y=1\end{cases}}\)
TT
2
18 tháng 9 2021
\(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)+\left(x-1\right)+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-y+1\right)=-3\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\x-y+1=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=3\\x-y+1=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\x-y+1=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-3\\x-y+1=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;-2\right),\left(4;6\right),\left(2;6\right),\left(-2;-2\right)\right\}\)
18 tháng 9 2021
Ta có \(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-x^2=2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-x^2+1=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x^2-1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\)
Vì x,y nguyên nên ta có bảng
| x-1 | 3 | 1 | -1 | -3 |
| y-x-1 | 1 | 3 | -3 | -1 |
| x | 4 | 2 | 0 | -2 |
| y | 6 | 8 | 2 | 4 |
Vậy\(\left(x,y\right)=\left\{\left(4,6\right),\left(2,8\right),\left(0,2\right),\left(-2,4\right)\right\}\)thỏa mãn
2 tháng 4 2020
\(\left(x^2-x+1\right)\left(xy+y^2\right)=3x-1\left(1\right)\)
\(3x-1⋮x^2-x+1\)
zì \(lim\left(x\rightarrow\infty\right)\frac{3x-1}{x^2-x+1}=0\)
zà thấy x=2 thỏa mãn ,=> x=1
thay zô 1 ta có
\(1\left(y+y^2\right)=2=>y^2+y-2=0=>\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-2\end{cases}}\)
zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,1\right)\left(1,-2\right)\right\}\)
9 tháng 11
bài này sẽ giải nếu x,y là số nguyên
ĐKXĐ: x≠2
A=\(\dfrac{3\left(x++y\right)\left(x-2\right)+1}{x-2}\)
A=\(\dfrac{3\left(x+y\right)\left(x-2\right)}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}\)
A=3(x+y)+\(\dfrac{1}{x-2}\)
Vì x;y; A là số nguyên nên \(\dfrac{1}{x-2}\) cũng là số nguyên
hay x-2⋮1
hay x-2ϵƯ(1)=(-1;1)
suy ra x=1;3
tự tìm y
3 tháng 1 2020
Ta có \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\left(1\right)\)
Vì x,y nguyên dương nên
\(\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)kết hợp (1) ta được:
\(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)
Mà y+3 >0 (do y>0)\(\Rightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)
mà \(x\inℤ^+\)\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)
*x=1 thay vào (1) ta có:
\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y^2+5y+8\right)=0\)
mà \(y^2+5y+8=\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)
\(\Rightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3\inℤ^+\)
*y=2 thay vào (1) ta được:
\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)
Sau đó cm pt trên không có nghiệm nguyên dương.
Vậy x=1;y=3
LA
2
6 tháng 12 2020
Bài làm
Ta có : y( x - 1 ) = x2 + 2
<=> x2 + 2 - y( x - 1 ) = 0
<=> x2 - x + x - 1 + 3 - y( x - 1 ) = 0
<=> x( x - 1 ) + ( x - 1 ) - y( x - 1 ) + 3 = 0
<=> ( x - 1 )( x - y + 1 ) = -3
Vì x, y ∈ Z => \(\hept{\begin{cases}x-1\inℤ\\x-y+1\inℤ\end{cases}}\)
Lại có \(-3=\hept{\begin{cases}-1\cdot3\\-3\cdot1\end{cases}}\)
=> Ta có bảng sau :
| x-1 | 1 | -1 | 3 | -3 |
| x-y+1 | -3 | 3 | -1 | 1 |
| x | 2 | 0 | 4 | -2 |
| y | 6 | -2 | 6 | -2 |
Tất cả các giá trị trên đều thỏa x, y ∈ Z
Vậy ( x ; y ) = { ( 2 ; 6 ) , ( 0 ; -2 ) , ( 4 ; 6 ) , ( -2 ; -2 ) }
XO
6 tháng 12 2020
y(x - 1) = x2 + 2
=> y(x - 1) - x2 - 2 = 0
=> y(x - 1) - x2 + 1 = 3
=> y(x - 1) - (x2 - 1) = 3
=> y(x - 1) - (x - 1)(x + 1) = 3
=> (x - 1)(y - x - 1) = 3
Ta có 3 = 1.3 = (-1).(-3)
Lập bảng xét các trường hợp
| x - 1 | 1 | 3 | -1 | -3 |
| y - x - 1 | 3 | 1 | -3 | -1 |
| x | 2 | 4 | 0 | -2 |
| y | 6 | 6 | -2 | -2 |
Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn là (2;6) ; (4;6) ; (0;-2) ; (-2;-2)
Mình gợi ý phần đầu nè. Xét \(x=0\) riêng được \(y=0\) hoặc \(y=1\).
Xét \(x\ne0\). Khi đó \(x\) và \(x^2+x+1\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(x\) nguyên khác 0.
(Ở đây ta chỉ định nghĩa 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1 nên số âm vẫn được).
Để CM điều này ta gọi \(d=gcd\left(x^2+x+1,x\right)\) thì \(1⋮d\).
Vế trái là một số chia hết cho 4 nên trong 2 số \(x\) và \(x^2+x+1\) phải có một số chia hết cho 4
(Nếu mỗi số đều chia hết cho 2 thì không thể nguyên tố cùng nhau)
Trường hợp 1: \(x⋮4\) còn \(x^2+x+1\) lẻ.
Do \(y\) và \(y-1\) có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên số chẵn sẽ là ước của \(x\) còn số lẻ là ước của \(x^2+x+1\).
Tức là có 2 trường hợp: \(x=4y\) và \(x=4\left(y-1\right)\).
Trường hợp 2 ngược lại.
Tới đây bạn tự giải được nha.
\(x\left[1+x+x^2\right]=4y\left[y-1\right]\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4y^2+x+4y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left[x+1\right]+x-4y^2+4y=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=1-16xy+16xy^2-16y+16y^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x1=\frac{-1+\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\\x2=\frac{-1-\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\end{cases}}\)
đến đây tự làm tiếp nhé