Question

[Incognito]

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm di động trên nửa đường tròn. Kẻ AD vuông góc BC sao cho đường tròn đường kính AD cắt AB,AC và (O) tại E,F,G. Đường thẳng AG cắt BC tại H. 

1) Tính \(\frac{AD^3}{BE.CF}\)theo R ? Chứng minh H,E,F thẳng hàng ?

2) Chứng minh: FG.CH + GH.CF = CG.HF ?

3) Trên BC lấy M cố định. Lấy N,P lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác MAB,MAC. Xác định vị trí điểm A để S_MNP Min ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) +) Xét đường tròn (AD): ^AED = ^AFD = 90⁰ (Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: BD² = BE.BA;  CD² = CF.CA => (BD.CD)² = AB.AC.BE.CF

Hay AD⁴ = AD.BC.BE.CF => AD³ = BC.BE.CF => \(\frac{AD^3}{BE.CF}=BC=2R\)

+) Chứng minh H,E,F thẳng hàng ?

Ta có: AE.AB = AF.AC (=AD²) => Tứ giác BEFC nội tiếp => ^CBE = ^AFE = ^EGH (Do tứ giác AGEF nội tiếp)

=> Tứ giác BEGH nội tiếp => ^GEH = ^GBH = ^GAF. Mà ^GAF + ^GEF = 180⁰ 

Nên ^GEH + ^GEF = 180⁰ => 3 điểm H,E,F thẳng hàng (đpcm).

2) Ta thấy tứ giác BEGH và BEFC nội tiếp => AG.AH = AE.AB = AF.AC => Tứ giác GFCH nội tiếp

Theo ĐL Ptolemy cho tứ giác GFCH nội tiếp: FG.CH + GH.CF = CG.HF (đpcm).

3) Gọi S,T lần lượt là hình chiếu của N,P trên BC.

Xét đường tròn (P) có: ^ACM = 1/2.Sđ(AM = 90⁰ - ^PMA => ^PMA = 90⁰ - ^ACB.

Tương tự: ^NMA = 90⁰ - ^ABC. Suy ra: ^PMA + ^NMA = 180⁰ - (^ABC + ^ACB) = 90⁰ => ^PMN = 90⁰

Từu đó dễ có: \(\Delta\)NSM ~ \(\Delta\)MTP (g.g) => NS.PT = MS.MT (*)

Xét \(\Delta\)MNP: ^PMN = 90⁰ => \(S_{MNP}=\frac{MN.MP}{2}=\frac{\sqrt{\left(NS^2+MS^2\right)\left(PT^2+MT^2\right)}}{2}\)(ĐL Pytagore)

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky: \(S_{MNP}\ge\frac{NS.PT+MS.MT}{2}=MS.MT=\frac{1}{4}BM.CM\)(Dựa vào (*) )

Vậy Min S_MNP = 1/4.BM.CM = const (Vì M cố định). Đạt được khi A là trung điểm cung BC.