Chứng minh \(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\) với mọi a, b.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 1 2017
- Nếu |a| < |b| thì |a| - |b| < 0 < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|
- Nếu |a| = |b| thì |a| - |b| = 0; |a + b| = |2a|
=> |a| - |b| \(\le\) |a + b|
- Nếu |a| > |b|
- Nếu b = 0 thì |a| - |b| = |a| = |a + b|
Bây giờ chỉ còn lại 2 trường hợp với b khác 0
- Nếu a và b cùng dấu, dễ thấy: |a| - |b| < |a| < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|
- Nếu a và b trái dấu
+ Nếu a > 0 > b, lại có: |a| > |b| (1)
=> |a| - |b| = a - (-b) = a + b
Từ (1) => bểu thức a + b mang dấu dương, do đó |a + b| = a + b = |a| - |b|
+ Nếu b > 0 > a, lại có: |a| > |b| (2)
=> |a| - |b| = -a - b = -(a + b)
Từ (2) => biểu thức a + b mang dấu âm, do đó |a + b| = -(a + b) = |a| - |b|
Như vậy, |a| - |b|\(\le\) |a + b|
Dấu "=" xảy ra khi b = 0 hoặc a và b cùng bằng 0 hoặc a và b trái dấu ( với b khác 0)
HT
25 tháng 6 2019
Có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Khai căn 2 vế
\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)
31 tháng 1 2017
Làm lại:
Ta có: |a| - |b| \(\le\)|a+b| (1)
Xét |a| - |b|\(\le\)0 => (1) đúng (*)
Xét |a| - |b| > 0 ta bình phương 2 vế của (1) được
a2 - 2|a.b| + b2 \(\le\)a2 + 2ab + b2
<=> 2ab + 2|ab| \(\ge\)0 (2)
Xét ab < 0 thì
(2) <=> 2ab - 2ab = 0
=> (1) đúng (**)
Xét ab \(\ge\)0 thì
(2) <=> 2ab + 2ab \(\ge\)0
<=> 4ab \(\ge\)0 (đúng) (***)
Từ (*), (**), (***) suy ra (1) đúng với mọi a,b thuộc R
31 tháng 8 2022
\(0< =2\left|a\right|\cdot\left|b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|\right)^2+2\cdot\left|a\right|\cdot\left|b\right|+\left(\left|b\right|\right)^2>=\left(\left|a\right|\right)^2+\left|b\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a+b\right|\right)^2< =\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)
=>|a+b|<=|a|+|b|
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2019
Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=a^2\left(b+c\right)+ab\left(b+c\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(b+c\right)+abc\)
\(=\left(b+c\right)\left(a^2+ab+bc+ac\right)+abc\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
Vậy BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\le\frac{8}{9}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\le0\) \(?!\)
Bất đẳng thức sai
Thử lại với \(a=b=c=1\) thì \(9\le\frac{64}{9}\) sai thật
BĐT đúng có lẽ là:
\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Khi đó:
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\le\frac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) (đúng theo AM-GM)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
T
6 tháng 10 2019
Sửa đề: \(\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2021
Lời giải:
BĐT cần CM tương đương với:
\(\left[\frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\right]^2\leq \frac{1}{4}\)
Đặt $a+b=x; ab=y$ thì BĐT \(\Leftrightarrow \left(\frac{x(1-y)}{y^2+x^2-2y+1}\right)^2=\left(\frac{x(y-1)}{x^2+(y-1)^2}\right)^2\leq \frac{1}{4}\)
Điều này luôn đúng vì theo BĐT AM-GM:
\([x^2+(y-1)^2]^2=x^4+(y-1)^4+2x^2(y-1)^2\geq 2x^2(y-1)^2+2x^2(y-1)^2=[2x(y-1)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{[x(y-1)]^2}{[x^2+(y-1)^2]^2}\leq \frac{[x(y-1)]^2}{[2x(y-1)]^2}=\frac{1}{4}\)
H2
2
3 tháng 3 2020
Ta có:\(\left|a\right|,\left|b\right|\) \(\leq\) \(1\)
\(\implies\) \(\left(1-a\right).\left(1-b\right)\) \(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(1-b-a+ab\)\(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(1+ab\) \(\geq\) \(a+b\)
\(\implies\) \(\left|1+ab\right|\) \(\geq\) \(\left|a+b\right|\) \(\left(đpcm\right)\)
Tham khảo
- Nếu a ≤ 0 ; b ≤ 0 hoặc a ≥ 0;b ≥ 0 thì |a + b| = |a| + |b|
- Nếu a,b khác dấu và |a| > |b| thì |a+b| = |a| - |b| < |a| < |a| + |b|
- Nếu a,b khác dấu và |b| > |a| thì |a+b| = |b| - |a| < |b| < |a| + |b|
Vậy trong mỗi trường hợp của a và b ta luôn có |a+b| ≤ |a| + |b|
Chúc học tốt !