Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm lại:
Ta có: |a| - |b| \(\le\)|a+b| (1)
Xét |a| - |b|\(\le\)0 => (1) đúng (*)
Xét |a| - |b| > 0 ta bình phương 2 vế của (1) được
a2 - 2|a.b| + b2 \(\le\)a2 + 2ab + b2
<=> 2ab + 2|ab| \(\ge\)0 (2)
Xét ab < 0 thì
(2) <=> 2ab - 2ab = 0
=> (1) đúng (**)
Xét ab \(\ge\)0 thì
(2) <=> 2ab + 2ab \(\ge\)0
<=> 4ab \(\ge\)0 (đúng) (***)
Từ (*), (**), (***) suy ra (1) đúng với mọi a,b thuộc R
Có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Khai căn 2 vế
\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)
Tham khảo
- Nếu a ≤ 0 ; b ≤ 0 hoặc a ≥ 0;b ≥ 0 thì |a + b| = |a| + |b|
- Nếu a,b khác dấu và |a| > |b| thì |a+b| = |a| - |b| < |a| < |a| + |b|
- Nếu a,b khác dấu và |b| > |a| thì |a+b| = |b| - |a| < |b| < |a| + |b|
Vậy trong mỗi trường hợp của a và b ta luôn có |a+b| ≤ |a| + |b|
Chúc học tốt !
a) \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
bạn thử tải app này xem có đáp án không nhé <3 https://giaingay.com.vn/downapp.html
Lời giải:
Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)
\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)
Ta có đpcm.
Lần sau bạn lưu ý đăng 1 bài 1 lần thôi. Đăng nhiều lần coi như spam và sẽ bị xóa không thương tiếc đấy nhé.
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
=> |a| - |b| \(\le\) |a + b|
- Nếu b = 0 thì |a| - |b| = |a| = |a + b|
Bây giờ chỉ còn lại 2 trường hợp với b khác 0
- Nếu a và b cùng dấu, dễ thấy: |a| - |b| < |a| < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|
- Nếu a và b trái dấu
+ Nếu a > 0 > b, lại có: |a| > |b| (1)
=> |a| - |b| = a - (-b) = a + b
Từ (1) => bểu thức a + b mang dấu dương, do đó |a + b| = a + b = |a| - |b|
+ Nếu b > 0 > a, lại có: |a| > |b| (2)
=> |a| - |b| = -a - b = -(a + b)
Từ (2) => biểu thức a + b mang dấu âm, do đó |a + b| = -(a + b) = |a| - |b|
Như vậy, |a| - |b|\(\le\) |a + b|
Dấu "=" xảy ra khi b = 0 hoặc a và b cùng bằng 0 hoặc a và b trái dấu ( với b khác 0)
|a+b|=|2a|, nếu a trái dấu b thì sao