Question

[Ng Thu Trà]

Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa mãn:

 x^y +1 =z

Answer 1

[An Thy]

Vì \(x^y+1=z\Rightarrow z>x,y\Rightarrow z\) lẻ

Xét \(x\) lẻ \(\Rightarrow x^y+1\) chẵn \(\Rightarrow\) vô lý \(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow2^y+1=z\)

Xét \(y=2\Rightarrow z=5\Rightarrow\) thỏa

Xét \(y>2\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k+1\Rightarrow2^{2k+1}+1=z\Rightarrow4^k.2+1=z\)

Vì 4 chia 3 dư 1 \(\Rightarrow4^k\) cũng chia 3 dư 1

\(\Rightarrow4^k.2+1⋮3\Rightarrow z=3\Rightarrow2^y=2\Rightarrow y=1\) (vô lý)

Vậy bộ (x,y,z) thỏa là (2,2,5)

Answer 2

[๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG]

Ta có x, y nguyên tố và x^y + 1 = z

=> z > 3

Mà z là số nguyên tố

=> z lẻ => x^y chẵn => x = 2

Xét y = 2 => z = 5 (thỏa mãn)

Xét y > 2:

Đặt y = 2k +1 (\(k\in N\) *)

=> 2^2k+1 + 1 = z

=> 2.4^k + 1 = z

Có \(4^k\equiv1\left(mod3\right)\) => 2.4^k + 1 chia hết cho 3

=> z chia hết cho 3 (loại)

KL x = 2, y = 2, z = 5