Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B=\(4x^2-4x+1+x^2+4x+4=5x^2+5\)
\(=5\left(x^2+1\right)\)
vì\(x^2+1\ge1\forall x\)
\(\Leftrightarrow B\ge5\forall x\)
dấu'=' xảy ra \(\Leftrightarrow x^2+1=0\Leftrightarrow x=0\)
vậy B đạt GTNN =5 khi x=0
Bài 2:
a) Ta có: \(A=x^2-3x+5\)
\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)
Ta có: \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x-\dfrac{3}{2}=0\)
hay \(x=\dfrac{3}{2}\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^2-3x+5\) là \(\dfrac{11}{4}\) khi \(x=\dfrac{3}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$2x^2+2=2(x^2+1)=(1^2+1^2)(x^2+1)\geq (x+1)^2$
$\Rightarrow Q=\frac{2x^2+2}{(x+1)^2}\geq \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}=1$
Vậy GTNN của $Q$ là $1$. Giá trị này đạt tại $\frac{1}{x}=\frac{1}{1}$ hay $x=1$
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau
\(1,A=\left(x-1\right)^2-10\)
\(2,B=-|x-1|-2\left(2y-1\right)^2+100\)
1: \(A=\left(x-1\right)^2-10\ge-10\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1
2: \(B=-\left|x-1\right|-2\cdot\left(2y-1\right)^2+100\le100\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1 và y=1/2
`(x-1)^2 >=0 => (x-1)^2 - 10 >= -10`
Dấu bằng xảy ra khi `x = 1`.
Vì `-|x-1| <=0, -2(2y-1)^2 <= 0`
`=> -|x-1| - 2(2y-1)^2 + 100 <= 100`
Dấu bằng xảy ra `<=> x = 1, y = 1/2`.
Ta có
\(B=\frac{2x^2+2}{\left(x+1\right)^2}\\ =\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{\left(x+1\right)^2}\\ =\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}+\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}\\ =1+\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}\)
\(MinB=1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)
ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-1;-\dfrac{1}{2}\right\}\)
a) Ta có: \(P=\left(\dfrac{2x}{x^3+x^2+x+1}+\dfrac{1}{x+1}\right):\left(1+\dfrac{x}{x+1}\right)\)
\(=\left(\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}+\dfrac{x^2+1}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\right):\left(\dfrac{x+1+x}{x+1}\right)\)
\(=\dfrac{x^2+2x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}:\dfrac{2x+1}{x+1}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}\cdot\dfrac{x+1}{2x+1}\)
\(=\dfrac{x^2+2x+1}{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}\)
b) Vì \(x=\dfrac{1}{4}\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên Thay \(x=\dfrac{1}{4}\) vào biểu thức \(P=\dfrac{x^2+2x+1}{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}\), ta được:
\(P=\left[\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{4}+1\right]:\left[\left(2\cdot\dfrac{1}{4}+1\right)\left(\dfrac{1}{16}+1\right)\right]\)
\(=\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{2}+1\right):\left[\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{16}+1\right)\right]\)
\(=\dfrac{25}{16}:\dfrac{51}{32}=\dfrac{25}{16}\cdot\dfrac{32}{51}=\dfrac{50}{51}\)
Vậy: Khi \(x=\dfrac{1}{4}\) thì \(P=\dfrac{50}{51}\)
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giờ thì chứng minh thôi:3
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)
=> Min P=18
\(A=x^2+3x+7\)
\(=x^2+2.1,5x+2,25+4,75\)
\(=\left(x+1,5\right)^2+4,75\ge4,75\)
Vậy \(A_{min}=4,75\Leftrightarrow x=-1,5\)
\(B=2x^2-8x\)
\(=2\left(x^2-4x\right)\)
\(=2\left(x^2-4x+4-4\right)\)
\(=2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]\)
\(=2\left(x-2\right)^2-8\ge-8\)
Vậy \(B_{min}=-8\Leftrightarrow x=2\)
\(B=\left(2x-1\right)^2+\left(x+2\right)^2\)
\(B=4x^2-4x+1+x^2+4x+4\)
\(B=5x^2+5\)
Ta có: \(5x^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow5x^2+5\ge5\forall x\)
\(B=5\Leftrightarrow5x^2=0\Leftrightarrow x=0\)
Vậy \(B_{min}=5\Leftrightarrow x=0\)
Tham khảo nhé~
B\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x+2\right)^2\)
\(=4x^2-4x+1+x^2+4x+4\)
\(=5x^2+5\ge5\)
Dấu "=" xảy ra khi x=0
Vậy ...