K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 2 2016

x^2+y^2>=0

=>25*(x^2+y^2)>=0(1)

mà:(12-3x-4y)^2>=0(2)

cộng (1) cho (2)=>25(x^2+y^2) + (12-3x-4y)^2>=0

=>min=0 khi x=y=0

8 tháng 12 2016
  • \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)

Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)

  • Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)

28 tháng 4 2015

2.M = 2x2 – 10x + 2y2 + 2xy – 8y + 4038 = (x2 – 10x + 25) +( y2 + 2xy + y2) + ( y2 – 8y + 16)  + 3997

= (x-5)2 + (x+y)2 + (y - 4)2 + 3997 = N + 3997

Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi a: (ax+ by + cz)2 \(\le\) (a2+ b2 + c2). (x2 + y2 + z2). Dấu bằng xảy ra khi a/x = b/y = c/z

Ta có: [(5 - x).1 + (x+ y).1 + (y + 4).1]2 \(\le\) [(5 - x)2 + (x+y)2 + (y - 4)2 ].(1+ 1+1) = N .3 = 3.N

<=> 92 = 81 \(\le\) 3.N => N \(\ge\) 27 => 2.M \(\ge\) 27 + 3997 = 4024 

=> M \(\ge\)2012

vậy Min M  = 2012

khi 5 - x = x+ y = y + 4 => x = 4 ; y = -3

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 9 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$3x+\frac{16}{3}\ge 8\sqrt{x}$

$4y+4\geq 8\sqrt{y}$

$6z+\frac{8}{3}\geq 8\sqrt{z}$

Cộng theo vế: $P+12\geq 8(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=24$

$\Rightarrow P\geq 12$
Vậy $P_{\min}=12$ khi $(x,y,z)=(\frac{16}{9}, 1, \frac{4}{9})$

$P+

9 tháng 5 2021

-5

NV
27 tháng 8 2021

\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)

\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)

\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)

Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:

\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng

Tương tự: ...

\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)

\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

DD
5 tháng 9 2021

\(A=3x+4y+\frac{5}{x}+\frac{9}{y}=\frac{5}{4}x+\frac{5}{x}+\frac{9}{4}y+\frac{9}{y}+\frac{7}{4}x+\frac{7}{4}y\)

\(\ge2\sqrt{\frac{5}{4}x.\frac{5}{x}}+2\sqrt{\frac{9}{4}y.\frac{9}{y}}+\frac{7}{4}.4\)

\(=5+9+7=21\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=2\).

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 10

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$12=x^2+4+4y\geq 2\sqrt{4x^2}+4y=4x+4y=4(x+y)$
$\Rightarrow x+y\leq 3$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$P=x+y+\frac{10}{x+y}=(x+y)+\frac{9}{x+y}+\frac{1}{x+y}$

$\geq 2\sqrt{(x+y).\frac{9}{x+y}}+\frac{1}{x+y}$
$=6+\frac{1}{x+y}\geq 6+\frac{1}{3}=\frac{19}{3}$ (do $x+y\leq 3$)

Vậy $P_{\min}=\frac{19}{3}$

Giá trị này đạt tại $x=2; y=1$