K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 3 2016

 

Đặt \(z=\cos x+i\sin x,x\in\left[0,2\pi\right]\)

\(1=\left|\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}\right|=\frac{\left|z^2+\overline{z}^2\right|}{\left|z\right|^2}\)

  \(=\left|\cos2x+i\sin2x+\cos2x-i\sin2x\right|\)

  \(=2\left|\cos2x\right|\)

Do đó : \(\cos2x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\cos2x=-\frac{1}{2}\)

- Nếu \(\cos2x=\frac{1}{2}\)

                    thì : \(x_1=\frac{\pi}{6},x_2=\frac{5\pi}{6},x_3=\frac{7\pi}{6},x_4=\frac{11\pi}{6}\)

- Nếu \(\cos2x=-\frac{1}{2}\)

                    thì : \(x_5=\frac{\pi}{3},x_6=\frac{2\pi}{3},x_7=\frac{4\pi}{3},x_8=\frac{5\pi}{3}\)

Do đó có 8 nghiệm :\(z_k=\cos x_k+i\sin x_kk=1,2,3,.....,8\)

 

7 tháng 4 2016

 

Điều kiện \(z\ne0;\left|z\right|\ne1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left|z\right|^2-1}=i\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left(\left|z\right|-1\right)\left(\left|z\right|+1\right)}\)

                               \(\Leftrightarrow\overline{z}\left(1+iz\right)=\left(\left|z\right|+1\right)i\)

                               \(\Leftrightarrow\overline{z}+i\left|z\right|^2=\left(\left|z\right|+1\right)i\) (*)

Giả sử \(z=x+yi,x,y\in R\), khi đó (*) trở thành :

\(x-yi+\left(x^2+y^2\right)i=\left(\sqrt{x^2+y^2}+1\right)i\)

\(\Leftrightarrow x+\left(x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1\right)i=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y^2-\left|y\right|-y-1=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\\begin{cases}y=-1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}\end{cases}\)

Nếu \(x=0,y=1+\sqrt{2}\) thì \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\) thỏa mãn điều kiện

Nếu \(x=0,y=-1\) thì \(z=-i\) , khi đó \(\left|z\right|=1\) không thỏa mãn điều kiện

Vậy số phức cần tìm là \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\)

17 tháng 7 2018

đặc \(z=a+bi\) với \(\left(a;b\in R;i^2=-1\right)\)

ta có : \(\left|z-\overline{z}+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}z+\dfrac{1}{2}\overline{z}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a+bi-a+bi+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}a+\dfrac{3}{2}bi+\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2b+2\right)^2}=\sqrt{\left(2a+b\right)^2}\) \(\Leftrightarrow2b+2=2a+b\Leftrightarrow a=\dfrac{b}{2}+1\)

ta có : \(P=\left|z-3\right|=\left|a+bi-3\right|=\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}+1-3\right)^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}-2\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\dfrac{5b^2}{4}-2b+4}\ge\sqrt{4-\dfrac{\left(-2\right)^2}{4.\dfrac{5}{4}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

dấu "=" xảy ra khi \(b=\dfrac{2}{2.\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\)\(a=\dfrac{7}{5}\) \(\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4}{5}i\)

20 tháng 4 2021

Cho z là một số nào đó (vd: z = 2 + 3i) rồi xét đáp án

=> chọn câu C

NV
8 tháng 4 2022

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left|x+yi+x-yi+2\right|+2\left|x+yi-x+yi-2i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|2x+2\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le6\)

Tập hợp z là miền trong hình thoi (gồm cả biên) với 4 đỉnh: \(A\left(-7;1\right)\) ; \(B\left(-1;4\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\) ; \(D\left(-1;-2\right)\)

\(P^2=\left|z-4-4i\right|^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2\)  có tập hợp là đường tròn (C) tâm \(I\left(4;4\right)\) bán kính \(R=P>0\) sao cho (C) và hình thoi ABCD có ít nhất 1 điểm chung

Từ hình vẽ ta thấy \(P_{max}\) khi (C) đi qua A \(\Rightarrow P=IA\) và \(P_{min}\) khi (C) tiếp xúc BC  \(\Rightarrow P=d\left(I;BC\right)\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(-11;-3\right)\Rightarrow M=IA=\sqrt{130}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtpt

Phương trình BC: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

\(\Rightarrow m=d\left(I;BC\right)=\dfrac{\left|4+2.4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}\)

NV
8 tháng 4 2022

undefined

28 tháng 3 2022

A bạn nhá